1、课时作业28立体几何中向量方法的综合运用基础巩固1如图1，在三棱锥SABC中，SCSBBC3，SA4，ACAB5，则二面角BASC的大小是()图1A30B45C60 D90解析：AS2SC2AC2，AS2SB2AB2.ASSC，ASSB.BSC是所求二面角的平面角，在SBC中，SCSBBC，BSC60，选C.答案：C2.在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，). 若S1，S2，S3分别表示三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()AS1S2S3 BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2 DS3S2且S3
2、S1解析：如图2，在空间直角坐标系中画出三棱锥的直观图，易知四边形ABCO是正方形，点D在平面xOy上的投影是正方形ABCO的中心，所以三棱锥DABC在平面xOy上的投影是ABC，易知S1SABCABBC2.三棱锥DABC在平面yOz和平面zOx上的投影分别是POC和QOA，可知P(0,1，)，Q(1,0，)，所以点P与Q到平面xOy的距离均为，所以S2SPOCOC，S3SQOAOA.图2所以S2S3且S1S3 .答案：D3过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60，则该截面的面积是()A B2C3 D4解析：设截面圆心为O1，则OO1截面O1，OAO160.在Rt
3、AO1O中，AO2，AO1AOcosO1AO1，S截面AO，选A.图3答案：A4如图4，已知矩形ABCD中，|AD|3，|AB|4.将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得面BCD面ABD.现以D为原点，DB作为y轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，此时点A恰好在xDy坐标平面内则A，C两点的坐标分别是_A，C两点的距离是_图4解析：可求CFEA，DF，DE，A、C两点坐标分别为(，0)，(0，)|AC|.答案：(，0)，(0，)；5平面直角坐标系中，由点A(a,0)，B(0，b)(ab0)确定的直线的方程为1.类比上述性质，在空间直角坐标系中，则由点A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0
4、，c)(abc0)确定的平面的方程为_解析：平面的方程为1，将A、B、C的坐标代入检验满足方程答案：1.6如图5所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.图5(1)证明：EFB1C; (2)求二面角EA1DB1的余弦值解：(1)因为AA1B1B，ABCD均为正方形，所以A1B1綊CD，因此四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1DB1C；而B1C面A1DE，A1D面A1DE，所以B1C面A1DE，又因为过B1，C，D1平面交A1DE于EF，所以EFB1C.图6(2)四边形AA1B1B，ADD
5、1A1，ABCD均为正方形，所以AA1AB，AA1AD，ABAD且AA1ABAD.以A为原点，分别以，为x轴，y轴，z轴单位正向量建立如图6所示的空间直角坐标系可得点的坐标为A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)，E设面A1DE的法向量为n(x，y，z)，(0,1，1)由n，n得，可取n(1,1,1)同理可以求出面A1B1CD的法向量m(0,1,1)所以cosn，m.结合图形知，二面角EA1DB1的余弦值为.能力提升1到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()A直线 B椭
6、圆C抛物线 D双曲线解析：不妨设异面直线AA与DC在正方体ABCDABCD的棱AA、DC上，图7其中正方体的棱长为a，点的轨迹在平面DCCD上，在平面DC中以DC所在直线为x轴，DD所在直线为y轴建立直角坐标系，所求点设为(x，y)，过作PEDC于E，PFAA于F，则|PE|PF|y|y2x2a2，故选D.答案：D2已知二面角l为60，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为4，则P、Q两点之间距离的最小值为()A4 B4C2 D8解析：图8如图8，过P作PP于P，过Q作QQ于Q，当PP与QQ共面时，PQ的距离最小此时设面QQPP交二面角的棱于点O(如图8)在RtOPP中，OP2，在
7、RtOQQ中，OQ4，PQ2.在RtPQQ中，PQ2，选C.答案：C3在直角坐标中，A(2,3)，B(3，2)，沿x轴把直角坐标系折成120的二面角，则AB的长度为()A. B4C2 D2解析：图9如图9，分别过A、B作AA1x轴于A1，BB1x轴于B1，则|AA1|3，|BB1|2，|A1B1|5，AA1，B1B60.所以|AB|2，选D.答案：D4一个正方体的展开图如图10所示，B、C、D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为_图10解析：将展开图恢复为正方体并建立空间直角坐标系(如图11)，设正方体棱长为2，则(2,0,2)，(0，2，1)
8、图11设CD与AB所成角为，则cos.答案：5设O是平面ABC外一点，点P满足，则直线AP与平面ABC的位置关系是_.解析：由题设有，共面AP平面ABC.答案：AP平面ABC6(2018年高考北京卷)如图13，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，ABBC，ACAA12.图13(1)求证：AC平面BEF；(2)求二面角BCDC1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交解：(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，因为CC1平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以ACEF.因为ABBC，所
9、以ACBE.所以AC平面BEF.(2)由(1)知ACEF，ACBE，EFCC1.又CC1平面ABC，所以EF平面ABC.因为BE平面ABC，所以EFBE.图14如图14，建立空间直角坐标系Exyz.由题意得B(0，2，0)，C(1，0，0)，D(1，0，1)，F(0，0，2)，G(0，2，1)所以(1，2，0)，(1，2，1)设平面BCD的法向量为n(x0，y0，z0)，则即令y01，则x02，z04.于是n(2，1，4)又因为平面CC1D的法向量为(0，2，0)，所以cosn，.由题知二面角BCDC1为钝角，所以其余弦值为.(3)由(2)知平面BCD的法向量为n(2，1，4)，(0，2，1)
10、因为n20(1)2(4)(1)20，所以直线FG与平面BCD相交7平面图形ABB1A1C1C如图14甲所示，其中BB1C1C是矩形BC2，BB14，ABAC，A1B1A1C1.现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使ABC与A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图14乙所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题图14(1)证明：AA1BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角ABCA1的余弦值解：图15(1)证明：取BC，B1C1的中点分别为D，D1，连接A1D1，DD1，AD.由BB1C1C为矩形知，DD1 B1C1，因为平面BB1C1C平面A1
11、B1C1，所以DD1平面A1B1C1，又由A1B1A1C1知，A1D1B1C1，故以D1为坐标原点，可建立如图15所示的空间直角坐标系D1xyz.由题设，可得A1D12，AD1.由以上可知AD平面BB1C1C，A1D1平面BB1C1C，于是AD /A1D1，所以A(0，1,4)，B(1,0,4)，A1(0,2,0)，C(1,0,4)，D(0,0,4)，故 (0,3，4)，(2,0,0)，0，因此，即AA1BC.(2)因为(0,3，4)，所以| 5，即AA15，(3)连接A1D，由BCAD，BCAA1，可知BC平面A1AD，BCA1D，所以ADA1为二面角ABCA1的平面角因为(0，1,0)，(0,2，4)，所以cos.即二面角ABCA1的余弦值为. (或用法向量求解)
