1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列函数中与函数y=x相同的是()A.y=x2B.y=3t3C.y=x2D.y=x2x解析:y=3t3=t,tR.答案:B2.函数f(x)=x|x|的图像是()解析:因为f(x)=x|x|=1,x0,-1,x0,所以其图像为C.答案:C3.函数f(x)=x+1+12-x的定义域为()A.-1,2)(2,+)B.(-1,+)C.-1,2)D.-1,+)解析:由x+10,2-x0,解得x-1,且x2.答案:A4.已知f:xx2是集合A到集合B=0,1,4的一个映射,则集合A中的元素个数最多有()A.
2、3个B.4个C.5个D.6个解析:令x2=0,1,4,解得x=0,1,2.故选C.答案:C5.(2017山东高考)设f(x)=x,0x1,2(x-1),x1.若f(a)=f(a+1),则f1a=()A.2B.4C.6D.8解析:f(x)的图像如图所示.又f(a)=f(a+1),所以0a1,a=2(a+1-1),所以a=14.所以f1a=f(4)=2(4-1)=6.答案:C6.已知二次函数f(x)=m2x2+2mx-3,则下列结论正确的是()A.函数f(x)有最大值-4B.函数f(x)有最小值-4C.函数f(x)有最大值-3D.函数f(x)有最小值-3解析:由题知,m20,所以f(x)的图像开口
3、向上,函数有最小值f(x)min=4m2(-3)-4m24m2=-4,故选B.答案:B7.(2017全国1高考)函数f(x)在(-,+)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是()A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1f(x-2)1等价于f(1)f(x-2)f(-1).又f(x)在(-,+)单调递减,所以-1x-21,即1x3.所以x的取值范围是1,3.答案:D8.偶函数f(x)在0,+)单调递增,若f(-2)=1,则f(x-2)1的x的取值范围是()A.0,2B.-2,2C.0,
4、4D.-4,4解析:因为函数f(x)是偶函数,f(-2)=1,所以f(2)=1.因为f(x-2)1,所以-2x-22,解得0x4.故选C.答案:C9.函数f(x)=cx2x+3x-32满足f(f(x)=x,则常数c等于()A.3B.-3C.3或-3D.5或-3解析:f(f(x)=ccx2x+32cx2x+3+3=c2x2cx+6x+9=x,即x(2c+6)x+9-c2=0,所以2c+6=0,9-c2=0,解得c=-3.故选B.答案:B10.已知函数f(x)=ax3+bx+7(其中a,b为常数),若f(-7)=-17,则f(7)的值为()A.31B.17C.-17D.15解析:令g(x)=ax3
5、+bx,则g(x)为奇函数.因为f(-7)=g(-7)+7=-17,所以g(-7)=-17-7=-24,g(7)=24,f(7)=g(7)+7=31.答案:A11.导学号85104050已知函数f(x)=ax2-x,若对任意x1,x22,+),且x1x2,不等式f(x1)-f(x2)x1-x20恒成立,则实数a的取值范围是()A.12,+B.12,+C.14,+D.14,+解析:不妨设x2x12,则f(x1)-f(x2)x1-x2=(ax12-x1)-(ax22-x2)x1-x2=a(x12-x22)-(x1-x2)x1-x2=a(x1-x2)(x1+x2)-(x1-x2)x1-x2=a(x1
6、+x2)-1.对任意x1,x22,+),且x1x2,f(x1)-f(x2)x1-x20恒成立,x2x12时,a(x1+x2)-10,即a1x1+x2恒成立.x2x12,1x1+x214.a14,即a的取值范围为14,+.故选D.答案:D12.已知f(x)=(3a-1)x+4a(x1),-ax(x1)是定义在(-,+)上的减函数,则a的取值范围是()A.18,13B.18,13C.0,13D.-,13解析:由题意可得3a-10,-a0,-a3a-1+4a,解得18a13,故选A.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.已知幂函数y=xm2-2m-3(
7、mN+)的图像关于y轴对称,且在(0,+)上是减少的,则m=.解析:由题意m2-2m-3为负的偶数,由m2-2m-3=(m-1)2-40|m-1|2.-1m3.又mN+,m=1或m=2.代入m2-2m-3使其为偶数,只有m=1.答案:114.已知函数f(x+3)的定义域为-2,4),则函数f(2x-3)的定义域为.解析:因为函数f(x+3)的定义域为-2,4),所以x-2,4),所以1x+37.对于函数f(2x-3),则12x-37,即2x5,所以函数y=f(2x-3)的定义域为2,5).答案:2,5)15.(2017全国2高考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时,f(x)
8、=2x3+x2,则f(2)=.解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).又因为当x(-,0)时,f(x)=2x3+x2,所以f(2)=-f(-2)=-2(-8)+4=12.答案:1216.函数f(x)=x的函数值表示不超过x的最大整数,例如,-3.5=-4,2.1=2,已知定义在R上的函数g(x)=x+2x,若A=y|y=g(x),0x1,则A中所有元素的和为.解析:当x0,12时,02x1,g(x)=x+2x=0;当x12,1时,12x0时,f(x)=x2-2x+1,求f(x)在xR上的表达式.解:因为f(x)是定义域在R上的奇函数,所以f(0)=0,当x0,由已知得,f(-x
9、)=(-x)2-2(-x)+1=x2+2x+1=-f(x),所以f(x)=-x2-2x-1,所以f(x)=x2-2x+1,x0,0,x=0,-x2-2x-1,x0时,设0x10,f(x1)f(x2),f(x)在(0,+)上是减函数.19.(12分)函数f(x)的图像如图所示,曲线BCD为抛物线的一部分.(1)求f(x)解析式;(2)若f(x)=1,求x的值;(3)若f(x)f(2-x),求x的取值范围.解:(1)当-1x0时,函数f(x)的图像为直线且过点(-1,0),(0,3),设函数f(x)的解析式为y=kx+b,则-k+b=0,b=3,解得k=3,b=3,所以y=3x+3.当0x3时,函
10、数f(x)的图像为抛物线,设函数f(x)的解析式为y=a(x-1)(x-3),当x=0时,y=3a=3,解得a=1,所以y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.所以y=3x+3,-1x0,x2-4x+3,0x3.(2)当x-1,0时,令3x+3=1,解得x=-23;当x(0,3时,令x2-4x+3=1,解得x=416-82=22.因为0x3,所以x=2-2.所以x=-23或x=2-2.(3)当x=-1或x=3时,f(x)=f(2-x)=0;当-1x0时,22-x0,f(2-x)f(2-x)恒成立;当0x2时,02-x2,f(x)在0,2上单调递减,所以当x2-x,即xf(2-x),所以0x1
11、;当2x3时,-12-x0,此时f(x)0,不合题意.所以x的取值范围为x|-1x0时,有f(x)1.(1)求f(0);(2)求证:f(x)在R上为增函数;(3)若f(1)=2,且关于x的不等式f(ax-2)+f(x-x2)3对任意的x1,+)恒成立,求实数a的取值范围.(1)解:令m=n=0,则f(0)=2f(0)-1,f(0)=1.(2)证明:任取x1,x2R且x10,f(x2-x1)1.f(m+n)=f(m)+f(n)-1,f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1)-11+f(x1)-1=f(x1),f(x2)f(x1),f(x)在R上为增函数.(3)解:f(ax-
12、2)+f(x-x2)3,即f(ax-2)+f(x-x2)-12,f(ax-2+x-x2)2.f(1)=2,f(ax-2+x-x2)f(1).又f(x)在R上为增函数,ax-2+x-x20对任意的x1,+)恒成立.令g(x)=x2-(a+1)x+3,当a+121时,g(1)0,得a1时,0,即(a+1)2-340,-23-1a23-1,1a23-1.综上,实数a的取值范围为(-,23-1).22.导学号85104052(12分)已知二次函数f(x)的图像过点(0,4),对任意x满足f(3-x)=f(x),且有最小值是74.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数h(x)=f(x)-(2t-3)x在
13、区间0,1上的最小值,其中tR;(3)在区间-1,3上,y=f(x)的图像恒在函数y=2x+m的图像上方,试确定实数m的范围.解:(1)由题知二次函数图像的对称轴为x=32,又最小值是74,则可设f(x)=ax-322+74(a0).又图像过点(0,4),则a0-322+74=4,解得a=1,f(x)=x-322+74=x2-3x+4.(2)h(x)=f(x)-(2t-3)x=x2-2tx+4=(x-t)2+4-t2,其对称轴x=t.t0时,函数h(x)在0,1上单调递增,最小值为h(0)=4;当0t1时,函数h(x)的最小值为h(t)=4-t2;当t1时,函数h(x)在0,1上单调递减,最小值为h(1)=5-2t,所以h(x)min=4,t0,4-t2,0t2x+m对x-1,3恒成立,mx2-5x+4对x-1,3恒成立,m(x2-5x+4)min(x-1,3).g(x)=x2-5x+4在x-1,3上的最小值为-94,m-94.