1、附录：部分定理和公式的证明附录：部分定理和公式的证明1两角差的余弦公式cos()cos cos sin sin 证明 如图，在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O，以 Ox 为始边作角，它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A，B.则 OA(cos，sin)，OB(cos，sin)由向量数量积的坐标表示，有 OA OB(cos，sin)(cos，sin)cos cos sin sin.附录：部分定理和公式的证明附录：部分定理和公式的证明设OA 与OB 的夹角为，则 OA OB|OA|OB|cos cos cos cos sin sin.另一方面，由图(1)可知，2k；由图(2)可知，2k.于
2、是 2k，kZ.所以 cos()cos.即 cos()cos cos sin sin.附录：部分定理和公式的证明2余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即 a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.附录：部分定理和公式的证明证明 如图，设CB a，CA b，AB c.则 cab，所以|c|2(ab)2a22abb2|a|2|b|22|a|b|cos C.即 c2a2b22abcos C.同理可证 a2b2c22bccos A.b2c2a22cacos B.附录：部分定理和公式的证明3等差数列的前
3、n 项和公式设等差数列an的公差为 d，前 n 项之和为 Sn，则 Snn（a1an）2na1n（n1）2d.证明 Sna1a2a3an1an.一方面 Sna1(a1d)(a12d)a1(n2)da1(n1)d，另一方面 Snan(and)(an2d)an(n2)dan(n1)d 附录：部分定理和公式的证明得 2Sn n(a1an)所以 Snn（a1an）2.又 ana1(n1)d，所以 Snna1a1（n1）d2na1n（n1）2d.附录：部分定理和公式的证明4等比数列的前 n 项和公式设等比数列an的公比为 q，前 n 项之和为 Sn，则 Snna1，q1，a1（1qn）1q，q1.附录：
4、部分定理和公式的证明证明 当 q1 时，ana1，所以 Snna1.当 q1 时，Sna1a2a3an1an，所以 qSna1qa2qa3qan1qanq a2a3ananq.得(1q)Sna1qan，所以 Sna1qan1q a1a1qn1q a1（1qn）1q.所以 Snna1，q1，a1（1qn）1q，q1.附录：部分定理和公式的证明5直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行已知直线 m，n 与平面，若 m，m 且 n，则mn.证明 如图，因为 n，所以 n，又 m，所以 m 与 n 无交点，又 m，n，所以 mn.附录：部分定理和
5、公式的证明6两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行已知平面，满足，m，n，则 mn.附录：部分定理和公式的证明证明 如图，因为 m，n.所以 m，n.又，所以 m 与 n 无交点 又 m，n，所以 mn.附录：部分定理和公式的证明7两个平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直已知平面 平面，l，AB，且 ABl，则 AB.附录：部分定理和公式的证明证明 如图，设 ABlB，在平面 内过 B 作 BCl.因为 ABl，所以ABC 是二面角-l-的平面角 因为，所以ABC90，即 ABBC.又 ABl，BClB，l，BC，
6、所以 AB.附录：部分定理和公式的证明8空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，已知点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 P1，P2 两点间的距离为|P1P2|（x2x1）2（y2y1）2（z2z1）2.附录：部分定理和公式的证明证明 如图，设点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，且点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在 xOy 平面上的射影分别为 M，N，那么 M，N 的坐标为 M(x1，y1，0)，N(x2，y2，0)附录：部分定理和公式的证明在 xOy 平面上，|MN|（x1x2）2（y1y2）2.过点 P1 作 P
7、2N 的垂线，垂足为 H，则|MP1|z1|，|NP2|z2|，所以|HP2|z2z1|.在 RtP1HP2 中，|P1H|MN|（x1x2）2（y1y2）2，根据勾股定理，得|P1P2|P1H|2|HP2|2 （x1x2）2（y1y2）2（z1z2）2.因此，空间中点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|（x1x2）2（y1y2）2（z1z2）2.附录：部分定理和公式的证明9圆的渐开线的参数方程xr（cos sin），yr（sin cos）(是参数)证明 根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立平面直角坐标系(如图)
8、设基圆的半径为 r，绳子外端 M 的坐标为(x，y)显然，点 M 由角 唯一确定 附录：部分定理和公式的证明取 为参数，则点 B 的坐标为(rcos，rsin)，从而 BM(xrcos，yrsin)，|BM|r.由于向量 e1(cos，sin)是与OB 同方向的单位向量，因而向量 e2(sin，cos)是与向量BM 同方向的单位向量因此BM(r)e2，即(xrcos，yrsin)(r)(sin，cos)，所以圆的渐开线的参数方程为xr（cos sin），yr（sin cos）.(是参数)附录：部分定理和公式的证明10圆的平摆线(摆线)的参数方程xr（sin），yr（1cos）(为参数)证明 根
9、据点 M 满足的几何条件，我们取定直线为 x 轴，定点 M 滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系(如图)设圆的半径为 r.附录：部分定理和公式的证明设开始时定点 M 在原点，圆滚动了 角后与 x 轴相切于点 A，圆心在点 B.从点 M 分别作 AB，x 轴的垂线，垂足分别是 C，D.设点 M 的坐标为(x，y)，取 为参数，根据点 M 满足的几何条件，有 xODOADAOAMCrrsin，yDMACABCBrrcos.因此，摆线的参数方程是xr（sin），yr（1cos）(是参数)附录：部分定理和公式的证明11二维形式的柯西不等式若 a，b，c，d 都是实数，则(a2b2)(c2
10、d2)(acbd)2，当且仅当 adbc 时，等号成立证明 因为(a2b2)(c2d2)(acbd)2 a2c2a2d2b2c2b2d2a2c2b2d22acbd a2d2b2c22adbc(adbc)20，当且仅当 adbc 时，等号成立 即(a2b2)(c2d2)(acbd)20，所以(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc 时，等号成立附录：部分定理和公式的证明12三角不等式设 x1，y1，x2，y2，x3，y3R，则（x1x3）2（y1y3）2（x2x3）2（y2y3）2（x1x2）2（y1y2）2.证明 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)由|C
11、A|CB|BA|与两点间的距离公式得（x1x3）2（y1y3）2（x2x3）2（y2y3）2（x1x2）2（y1y2）2.当且仅当点 C 位于线段 BA 上时取等号附录：部分定理和公式的证明13贝努利不等式设 xR，且 x1，x0，nN*，n1，则(1x)n1nx.证明(1)当 n2 时，因为 x0.所以(1x)212xx212x，不等式成立(2)假设当 nk(kN*，k2)时不等式成立，即有(1x)k1kx，则当 nk1 时，由于 x1，x0.所以(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1xkxkx21(k1)x，所以当 nk1 时不等式成立 由(1)、(2)可知，贝努利不等式成立本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放