1、第三篇导数及其应用第1节导数的概念与计算【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与运算1,2,9,11导数的几何意义3,4,5,6,7,8,10导数的综合12,13,14,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2016莆田模拟)已知f(x)=ln x,则f(e)的值为(D)(A)1(B)-1 (C)e(D)解析:因为f(x)=ln x,所以f(x)=,则f(e)=.2.(2016榆林模拟)函数y=x2sin x的导数为(A)(A)y=2xsin x+x2cos x(B)y=2xsin x-x2cos x(C)y=x2sin x+2xcos x(D)y=x2sin x-2xcos x解析:y=(
2、x2)sin x+x2 (sin x)=2xsin x+x2cos x.3.(2016山西大学附中模拟)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)(A)e2(B)2e2(C)4e2(D)e2解析:曲线y=在点(4,e2)处的切线斜率为k=e2,切线为y-e2=e2(x-4),令x=0,y=-e2,令y=0得x=2,所以S=e2.4.(2016北京房山模拟)如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f(4)等于(A)(A)(B)3(C)4(D)5解析:直线过点(0,3),(4,5),所以直线斜率k=,即f(4)=.5.(2016成都模拟)函数f(x)=2ln x+x
3、2-bx+a(b0,aR)在点(b,f(b)处的切线斜率的最小值是(B)(A)2(B)2 (C) (D)1解析:因为f(x)=2ln x+x2-bx+a,所以f(x)=+2x-b,所以k=f(b)=+2b-b=+b2,当且仅当=b时取等号,即b=时,k取得最小值2.6.设曲线y=在点（,1）处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于(A)(A)-2 (B)1(C)-1(D)2解析:因为y=,所以y=-1,由条件知=-1,所以a=-1.7.(2015三明质检)已知点P在曲线y=上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是(D)(A)0,)(B),)(C)(,(D),)解析:函数导数y=
4、-4,因为ex+2,所以y-1,0),所以,).8.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为.解析:设切点为(x0,y0),y=4x,则4x0=4x0=1,所以y0=2,所以切线方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.答案:4x-y-2=09.已知函数f(x)=sin x+cos x,且f(x)=2f(x),f (x)是f(x)的导函数,则=.解析:f(x)=cos x-sin x,由f(x)=2f(x)得-cos x=3sin x,即tan x=-.=.答案:10.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率
5、最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角的取值范围.解:(1)y=x2-4x+3= (x-2)2-1-1,所以当x=2时,y=-1,y=,所以斜率最小的切线过(2,),斜率为-1,所以切线方程为x+y-=0.(2)由(1)得k-1,所以tan -1,所以0,),).能力提升练(时间:15分钟)11.设曲线y=sin x上任一点(x,y)处切线的斜率为g(x),则函数y=x2g(x)的部分图象可以为(C)解析:根据题意得g(x)=cos x,所以y=x2g(x)=x2cos x为偶函数.又x=0时,y=0.故选C.12.已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在(
6、1,f(1)处的切线方程是(C)(A)y=2x-1(B)y=x(C)y=3x-2(D)y=-2x+3解析:令x=1得f(1)=1,由f(2-x)=2x2-7x+6,两边求导可得f(2-x)(2-x)=4x-7,令x=1可得-f(1)=-3,即f(1)=3.所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.13.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.解析:f(x)=x-a+.因为f(x)存在垂直于y轴的切线,所以x+-a=0有解,所以a=x+2.答案:2,+)14.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f(x)为f(x)的导函数,已知y=f(x
7、)的图象如图所示,若两个正数a,b满足f(2a+b)1,则的取值范围是.解析:观察图象,可知f(x)在(-,0上是减函数,在0,+)上是增函数,由f(2a+b)1,解得a0.2.(2015长春模拟)已知曲线y=-3ln x+1的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(A)(A)3(B)2(C) 1(D)解题关键:设切点的横坐标为x0,由方程y=求得x0.解析:设切点的横坐标为x0,则y=-=,解得x0=3或x0=-2.又x00,所以x0=3.故选A.3.曲线y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值是.解题关键:转化为求两平行线的距离.解析:如图,所求最小值即曲线的斜率为2的切线与y=2x两平行线间的距离,也即切点到直线y=2x的距离.由y=ln(2x),得y=2,得x=,y=ln(2)=0,即与直线y=2x平行的曲线y=ln(2x)的切线的切点坐标是(,0),y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值,即=.答案: