1、2022精编复习题（六） 函数的奇偶性及周期性小题对点练点点落实对点练(一)函数的奇偶性1(2021肇庆模拟)在函数yxcos x，yexx2，ylg，yxsin x中，偶函数的个数是()A3B2 C1D0解析：选Byxcos x是奇函数，ylg和yxsin x是偶函数，yexx2是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是2，故选B.2已知函数f(x)asin xblnt，若ff6，则实数t()A2B1C1D3解析：选D令g(x)asin xbln，则易知g(x)为奇函数，所以gg0，则由f(x)g(x)t，得ffgg2t2t6，解得t3.故选D.3若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，则“f(x
2、)与g(x)同是奇函数或同是偶函数”是“f(x)g(x)是偶函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件解析：选A若函数f(x)与g(x)同是R上的奇函数或偶函数，则f(x)g(x)f(x)(g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)f(x)g(x)，即f(x)g(x)是偶函数，充分性成立；必要性不成立，如f(x)g(x)满足f(x)g(x)是偶函数，但f(x)与g(x)都不是奇函数或偶函数故选A.4(2021唐山统考)f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x3ln(1x)，则当x0时，f(x)()Ax3ln(1x)Bx3ln(1x)Cx3ln(1x)Dx3
3、ln(1x)解析：选C当x0，f(x)(x)3ln(1x)，f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)f(x)(x)3ln(1x)，f(x)x3ln(1x)对点练(二)函数的周期性1(2021江南十校联考)设f(x)xsin x(xR)，则下列说法错误的是()Af(x)是奇函数Bf(x)在R上单调递增Cf(x)的值域为RDf(x)是周期函数解析：选D因为f(x)xsin(x)(xsin x)f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f(x)1cos x0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，D错误，故选D.2函数f(x)的周期为4，
4、且x(2,2，f(x)2xx2，则f(2 018)f(2 019)f(2 020)的值为_解析：由f(x)2xx2，x(2,2知f(1)3，f(0)0，f(2)0，又f(x)的周期为4，所以f(2 018)f(2 019)f(2 020)f(2)f(1)f(0)0303.答案：33已知定义在R上的函数f(x)满足f(x3)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2，当1x3时，f(x)x，则f(1)f(2)f(3)f(2 017)_.解析：因为f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，当3x1时，f(x)(x2)2，当1x3时，f(x)x，所以f(3)1，f
5、(2)0，f(1)1，f(0)0，f(1)1，f(2)2，所以f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)1010121，所以f(1)f(2)f(3)f(2 017)336f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(2 017)336f(1)3361337.答案：337对点练(三)函数性质的综合问题1已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)f(x1)，若f(0)2，则f(2 018)的值为()A2B0C2D2解析：选Cg(x)f(x1)，g(x)f(x1)又g(x)f(x1)，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，则f(x
6、)是以4为周期的周期函数，f(2 018)f(2)f(02)f(0)2.2(2021湖南联考)已知函数f(x)是R上的奇函数，且在区间0，)上单调递增，若af，bf，cf，则a，b，c的大小关系为()AbacBcbaCbcaDabc解析：选B，tan1cos0，tancossin.函数f(x)是R上的奇函数，且在区间0，)上单调递增，函数f(x)是R上的增函数，cba，故选B.3(2021邢台摸底考试)已知定义在(1,1)上的奇函数f(x)，其导函数为f(x)1cos x，如果f(1a)f(1a2)0，则f(x)是定义在(1,1)上的增函数不等式f(1a)f(1a2)0等价于f(1a2)f(1
7、a)f(a1)，则有解得1a，选B.4(2021湖北武汉模拟)已知函数f(x)是奇函数，且满足f(2x)f(x)(xR)，当0x1时，f(x)ln x2，则函数yf(x)在区间(2,4上的零点个数是()A7B8 C9D10解析：选C由函数f(x)是奇函数且满足f(2x)f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，且关于直线x12k(kZ)成轴对称，关于点(2k,0)(kZ)成中心对称当0x1时，令f(x)ln x20，得x，由此得yf(x)在区间(2,4上的零点分别为2，0，2，2,2，4，4，共9个零点，故选C.5(四川高考)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)
8、4x，则ff(1)_.解析：f(x)为奇函数，周期为2，f(1)f(12)f(1)f(1)，f(1)0.f(x)4x，x(0,1)，ffff42.ff(1)2.答案：26(天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数a满足f(2|a1|)f()，则a的取值范围是_解析：f(x)是偶函数，且在(，0)上单调递增，f(x)在(0，)上单调递减，f()f()，f(2|a1|)f()，2|a1|2，|a1|，即a1，即a.答案：7(2021台州模拟)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当xf(x)，则实数x的取值范围是_解析：设x0，则x0.x0)，f(x)其图象如图所示
9、由图象知，函数f(x)在R上是增函数f(2x2)f(x)，2x2x，即2x0时，f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解：(1)当x0，则f(x)log (x)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)所以函数f(x)的解析式为f(x)(2)因为f(4)log42，f(x)是偶函数，所以不等式f(x21)2可化为f(|x21|)f(4)又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以|x21|4，解得x，即不等式的解集为(，)2(2021湖南长郡中学测试)已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的
10、取值范围解：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,33函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2, 且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解：(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数0|x1|16，解得15x17且x1.x的取值范围是(15,1)(1,17)