1、六 空间中的点、直线与空间向量(15 分钟 30 分)1l1的方向向量 v1(1，2，3)，l2的方向向量 v2(，4，6)，若 l1l2，则()A1 B2 C3 D4【解析】选 B.因为 l1l2，所以 v1v2，则 1 24，所以2.【补偿训练】直线 l1，l2的方向向量分别为 a(1，2，2)，b(2，3，2)，则()Al1l2 Bl1与 l2相交，但不垂直 Cl1l2 D不能确定【解析】选 C.因为 ab2640，所以 ab.所以 l1l2.2已知点 A(1，2，0)和向量 a(3，4，6)，|AB|2|a|，且AB 与 a 方向相反，则点 B 的坐标为()A(7，6，12)B(7，1
2、0，12)C(7，6，12)D(7，10，12)【解析】选 B.设 B(x，y，z)，则AB(x1，y2，z)，因为|AB|2|a|，且AB 与 a 方向相反，所以AB(6，8，12)，可得 x7，y10，z12.3若异面直线 l1，l2的方向向量分别是 a(0，2，1)，b(2，0，4)，则异面直线 l1与 l2的夹角的余弦值等于()A25 B25 C2 55 D2 55 【解析】选 B.设 l1与 l2的夹角为，则 cos|cos a，b|ab|a|b|4|5 20 25.4已知直线 l，m 的方向向量分别是 a(1，1，0)，b(1，t，2)，若 lm，则实数 t 的值是_【解析】因为直
3、线 l，m 的方向向量分别是 a(1，1，0)，b(1，t，2)，lm，所以 ab1t0，解得 t1.答案：1 5已知长方体 ABCDABCD的上，下底面都是边长为 3 的正方形，长方体的高为 4，如图建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量(1)AB；(2)BB；(3)BD；(4)CB.【解析】B3 22，0，0 ，A0，3 22，4 ，B(3 22 ，0，4)，C0，3 22，4 ，D3 22，0，4 .所以(1)AB3 22，3 22，4 ；(2)BB(0，0，4)；(3)B D(3 2，0，4)；(4)CB3 22，3 22，4 .(30 分钟 60 分)一、单选题(每小题 5 分
4、，共 20 分)1已知点 A(3，3，5)，B(2，3，1)，C 为线段 AB 上一点，且AC 23 AB，则点 C 的坐标为()A72，12，52 B38，3，2 C73，1，1 D52，72，32 【解析】选 C.设 C 点坐标为(x，y，z)，则AC(x3，y3，z5)，AB(1，6，6).由AC 23 AB，得x323，y323（6）4，z52364，解得 x73，y1，z1.即 C 点坐标为73，1，1 .2在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E 为 CC1的中点，则异面直线BC1与 AE 所成角的余弦值为()A 1010 B 3010 C2 1510 D3
5、1010 【解析】选 B.建立空间直角坐标系如图，则 A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2).所以1BC(1，0，2)，AE(1，2，1).故 cos 1BC，AE 11BC AE|BC|AE|3010 .所以异面直线 BC1与 AE 所成角的余弦值为 3010 .3在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是底面 ABCD 的中心，M，N 分别是棱 DD1，D1C1的中点，则直线 OM()A和 AC，MN 都垂直 B垂直于 AC，但不垂直于 MN C垂直于 MN，但不垂直于 AC D与 AC，MN 都不垂直【解析】选 A.以 DA，DC，DD1所在的直线分别
6、为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为 2a，则 D(0，0，0)，D1(0，0，2a)，M(0，0，a)，A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a).所以OM(a，a，a)，MN(0，a，a)，AC(2a，2a，0).所以OM MN 0，OM AC 0，所以 OMAC，OMMN.【补偿训练】在正方体 ABCDA1B1C1D1中，若 E 为 A1C1中点，则直线 CE 垂直于()AAC BBD CA1D DA1A【解析】选 B.以 A 为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为 x，y，z 轴建空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，则 A(
7、0，0，0)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，E12，12，1 ，所以CE 12，12，1 ，AC(1，1，0)，BD(1，1，0)，1A D(0，1，1)，1A A(0，0，1)，显然CE BD 12 12 00，所以CE BD，即 CEBD.4已知 A(3，0，1)，B(0，2，6)，C(2，4，2)，则ABC 是()A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形【解析】选 C.因为AB(3，2，5)，BC(2，6，4)，AC(1，4，1).所以AB AC 3(1)(2)4(5)(1)0，所以 ABAC.所以ABC 是直角三角形 又|A
8、B|AC|，所以ABC 不是等腰直角三角形 二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5在空间直角坐标系中，已知直角三角形 ABC 的三个顶点为 A(3，2，1)，B(1，1，1)，C(5，x，0)，则 x 的值为()A1 B0 C3 D9【解析】选 BD.因为 A(3，2，1)，B(1，1，1)，C(5，x，0)，所以AB(2，1，2)，BC(4，x1，1)，AC(2，x2，1)，分三种情况：A 为直角，AB AC 0，所以4x220，所以 x0；B 为直角，AB BC 0，所以8x120，所以 x9；C 为直角，AC BC 0
9、，所以 8(x1)(x2)10，x23x90，方程无解，综上，x 的值为 0 或 9.【误区警示】本题易忽视对直角的讨论，导致选不全 6如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，点 M，P，Q 分别为棱 AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列结论正确的是()AA1MD1P BA1MB1Q CA1M平面 DCC1D1 DA1M平面 D1PQB1【解析】选 ACD.因为1A M1A AAM 1A A12 AB，1D P1D DDP 1A A12 AB，所以1A M1D P，从而 A1MD1P.可得 ACD 正确 又 B1Q 与 D1P 不平行，所以 A1M 与 B1Q
10、 不平行，故 B 不正确 三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7若直线 a，b 是两条异面直线，其方向向量分别是 m(1，1，1)和 n(2，3，2)，则直线 a 和 b 的公垂线的一个方向向量是_【解题指南】直线 a，b 是两条异面直线，其方向向量分别是：m 和 n，直线 a 和b 的公垂线的一个方向向量是 a，则aman ，即am0an0 ，进而可得答案【解析】因为直线 a，b 是两条异面直线，其方向向量分别是：m(1，1，1)和 n(2，3，2)，设直线 a 和 b 的公垂线的一个方向向量是 a(x，y，z)，则aman ，即am0an0 ，即xyz02x3y2z0 ，令 x1，则
11、 a(1，4，5).答案：(1，4，5)(答案不唯一：(，4，5)，0 均满足条件)8ABC 的三个顶点分别是 A(1，1，2)，B(5，6，2)，C(1，3，1)，则AC 边上的高 BD 长为_【解题指南】根据 A，C，D 三点共线，设AD AC，利用向量垂直的充要条件建立关于 的方程，解出 的值由此得到向量BD 的坐标，再利用向量模的坐标公式即可求出 AC 边上的高 BD 的长 【解析】因为 A(1，1，2)，B(5，6，2)，C(1，3，1)，所以AB(4，5，0)，AC(0，4，3)，因为点 D 在直线 AC 上，所以设AD AC(0，4，3)，由此可得BD AD AB(0，4，3)(
12、4，5，0)(4，45，3)，又因为BD AC，所以BD AC 40(45)4(3)(3)0，解得45.因此BD(4，45，3)4，95，125 ，可得|BD|（4）29521252 5.答案：5 四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9如图所示，在五面体 ABCDEF 中，ABCDEF，CDEFCF2AB2，AD2，DCF60，ADCD，平面 CDEF平面 ABCD.求异面直线 BE 与 CF 所成角的余弦值 【解析】连接 DF，因为 CDEF，CDEFCF2，所以四边形 CDEF 为菱形 因为DCF60，所以DEF 为正三角形 取 EF 的中点 G，连接 GD，则 GDEF，所以 G
13、DCD.因为平面 CDEF平面 ABCD，GD 平面 CDEF，平面 CDEF平面 ABCDCD，所以 GD平面 ABCD.因为 ADCD，所以 DA，DC，DG 两两互相垂直 以 D 为坐标原点，DA，DC，DG 的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，因为 CDEFCFAD2，AB1，所以 B(2，1，0)，C(0，2，0)，E(0，1，3)，F(0，1，3)，所以BE(2，2，3)，CF(0，1，3)，设异面直线 BE 与 CF 所成角为，则 cos|cos BE，CF|BECF|BE|CF|5112 5 1122 .10如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ADAA
14、11，AB2，点 E 在棱 AB 上移动 (1)证明：D1EA1D；(2)当 E 为 AB 的中点时，求异面直线 AC 与 D1E 所成角的余弦值 【解析】以 D 为坐标原点，直线 DA，DC，DD1分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，设 AEx，则 A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0).(1)因为1DA(1，0，1)，1D E(1，x，1)，所以1DA 1D E1010，所以 D1EA1D；(2)因为 E 为 AB 中点，则 E(1，1，0)，从而1D E(1，1，1)，AC(1，2，0)，设 AC 与 D1E 所成的角为，则
15、cos 11|AC D E|AC|D E|120|5 3 1515 .1在直角坐标系 Oxyz 中，已知点 P(2cos x1，2cos 2x2，0)和点 Q(cos x，1，3)，其中 x0，若直线 OP 与直线 OQ 垂直，则 x 的值为_【解析】由 OPOQ，得OP OQ 0.即(2cos x1)cos x(2cos 2x2)(1)0.所以 cos x0 或 cos x12.因为 x0，所以 x2 或 x3 .答案：2 或3 2如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC，E 是侧棱 CC1上的任意一点，在线段 A1C1上是否存在一个定点 P，使得 D1P 垂直于 AE，证明你的结论 【解析】假设在线段 A1C1上存在一个定点 P，使得 D1P 垂直于 AE，如图，分别以DA，DC，1DD 方向为 x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系 依题意可设 ABa，AA1b，ECt，D1(0，0，b)，P(x，ax，b)，A(a，0，0)，E(0，a，t)，则有1D P(x，ax，0)，AE(a，a，t)，由1D PAE x(a)(ax)a0t0，求得 xa2，即 Pa2，a2，b 为 A1C1中点，所以假设成立，即线段 A1C1中点 P，使得 D1P 垂直于 AE.