1、8.3简单几何体的表面积与体积第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课后训练提升基础巩固1.若某圆锥的高等于其底面直径,则它的底面积与侧面积之比为()A.12B.13C.15D.32解析设圆锥底面半径为r,则高h=2r,其母线长l=5r.S侧=rl=5r2,S底=r2,S底S侧=15.答案C2.把半径为R的半圆形纸片卷成一个圆锥,所得圆锥的体积是()A.324R3B.38R3C.524R3D.58R3解析设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则l=R,2r=122R,r=R2.圆锥的高h=32R.圆锥的体积V=13r2h=324R3.答案A3.若轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的
2、侧面积是底面积的()A.4倍B.3倍C.2倍D.2倍解析设等边圆锥的母线长为l,底面半径为r,由已知得l=2r,故S侧S底=rlr2=lr=2.故选D.答案D4.已知圆柱的底面周长为6 cm,AC为底面圆的直径,母线BC=6 cm,点P为母线BC上一点,且PC=23BC,则一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的表面爬行到点P的最短距离为()A.4+6 cmB.5 cmC.35 cmD.7 cm解析圆柱的侧面展开图如图所示.圆柱的底面周长为6 cm,AC=3 cm.PC=23BC,PC=236=4(cm).在RtACP中,AP2=AC2+PC2,AP=32+42=5(cm).故选B.答案B5.已知圆台的
3、一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84,则圆台较小底面的半径为()A.7B.6C.5D.3解析设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r.由S=(r+3r)3=84,解得r=7.答案A6.若与球相切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为()A.4(r+R)2B.4r2R2C.4rRD.(R+r)2解析如图,作DEBC,交BC于点E.设球的半径为r1,则在RtCDE中,DE=2r1,CE=R-r,DC=R+r.由勾股定理得4r12=(R+r)2-(R-r)2,解得r1=Rr,故球的表面积为S球=4r12=4Rr.答案C7.已知将一铜球放入底面半径为16
4、cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高了9 cm,则这个铜球的半径为 cm.解析设铜球的半径为R cm,则有43R3=1629,解得R=12.答案128.如图,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱,则圆柱的表面积为.解析如图,设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,母线长为l,表面积为S.则R=OC=2,AC=4,l=OE=3,AO=42-22=23,AE=AO-OE=3.易知AEBAOC,AEAO=EBOC,即323=r2,r=1,S=2r(r+l)=21(1+3)=2(1+3).答案2(1+3)9.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,
5、l=3,试求该组合体的表面积和体积.解该组合体的表面积S=4r2+2rl=412+213=10,该组合体的体积V=43r3+r2l=4313+123=133.10.已知一种空心钢球的质量是142 g,它的外径是5.0 cm,求它的内径.(钢的密度是7.9 g/cm3,最后结果精确到0.1)解设空心钢球的内径为2x cm,由题意得7.943523-43x3=142,则x3=523-14237.9411.3.x2.24.2x4.5,即所求钢球的内径约为4.5 cm.能力提升1.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是162,则圆锥的体积是()A.643B.1283C.64D.1282解析设圆锥的
6、底面半径为r,母线长为l,因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形,所以2r=2l,即l=2r.由题意得,侧面积S侧=rl=2r2=162,解得r=4.所以l=42,高h=422=4.所以圆锥的体积V=13Sh=13424=643.答案A2.若圆台的上、下底面半径和高的比为144,母线长为10,则圆台的表面积为()A.81B.100C.168D.169解析作出圆台的轴截面如图所示.则它的母线长l=h2+(r-r)2=(4r)2+(3r)2=5r=10,r=2,r=8.S侧=(r+r)l=(8+2)10=100,S表=S侧+r2+r2=100+4+64=168.答案C3.我国古代数学名著数书九章中有“天
7、池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸)()A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸解析由题意可知,圆台形天池盆上底面半径为14寸,下底面半径为6寸,高为18寸.因为积水深9寸,所以水面半径为12(14+6)=10(寸),所以盆中积水的体积为39(62+102+610)=588(立方寸),又盆口面积为142=196(平方寸),所以平地降雨量为588196=3(寸).答案B4.若圆锥的高等于其内切球半径的3倍,则圆锥的侧面积与球的表面积之比是
8、()A.32B.23C.12D.13解析设球的半径为r,圆锥底面半径为R,母线长为l.由题意可知,rR=2rl,所以l=2R.又rR=l-R3r,所以R2=3r2,所以S圆锥侧S球=Rl4r2=32.答案A5.若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等,则它们的表面积的大小关系是()A.S球S圆柱S正方体B.S正方体S球S圆柱C.S圆柱S球S正方体D.S球S正方体S圆柱解析设等边圆柱底面圆半径为r,球半径为R,正方体棱长为a,则r22r=43R3=a3,Rr3=32,ar3=2,S圆柱=6r2,S球=4R2,S正方体=6a2,S球S圆柱=4R26r2=23Rr2=3231.故选A.答案
9、A6.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm.解析设球的半径为r cm,放入3个球后,圆柱液面高度变为6r cm,则有r26r=8r2+343r3,即2r=8,解得r=4.答案47.如图,把底面半径为8 cm的圆锥,放倒在平面内,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身滚动了2.5周,则圆锥的母线长为,表面积为.解析设圆锥的母线长为l cm,以S为圆心,SA为半径的圆的面积为S=l2 cm2.又圆锥的侧面积S1=Rl=8l cm2,根据圆锥在平面内转到原位
10、置时,圆锥本身滚动了2.5周,得l2=2.58l,解得l=20.故圆锥的表面积为S圆锥侧+S底=820+82=224(cm2).答案20 cm224 cm28.已知一个高为16的圆锥内接于一个体积为972的球,在圆锥里又有一个内切球.求:(1)圆锥的侧面积.(2)圆锥内切球的体积.解(1)如图,作出轴截面,则等腰三角形SAB内接于圆O,而圆O1内切于SAB.设圆O的半径为R,则有43R3=972,所以R=9.所以SE=2R=18.因为SD=16,所以ED=2.连接AE,因为SE是直径,所以SAAE,SA2=SDSE=1618=288,所以SA=122.因为ABSD,所以AD2=SDDE=162=32,所以AD=42.所以S圆锥侧=42122=96.(2)设内切球O1的半径为r,因为SAB的周长为2(122+42)=322,所以12r322=128216,所以r=4.所以内切球O1的体积V球=43r3=2563.