《导与练》2015届高三数学（人教文）一轮专练 ：第7篇 第6节空间直角坐标系.doc

1、第6节空间直角坐标系 【选题明细表】知识点、方法题号空间中点的坐标1、2、5、13空间中点的对称问题3、7、8、10空间两点间距离公式及应用4、6、9、11、12、13一、选择题1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是(C)(A)y轴上(B)xOy平面上(C)xOz平面上(D)x轴上解析:因为点(2,0,3)的纵坐标为0,横坐标、竖坐标都不为0,所以点(2,0,3)在x轴、z轴所确定的平面上.故选C.2.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影,则B点的坐标是(B)(A)(1,2,0)(B)(0,2,3)(C)(1,0,3)(D)(1,0,0)解析:点在yOz平面的横坐标为0,其

2、他坐标与A点相同,所以B点坐标为(0,2,3).故选B.3.已知空间一点A(-3,1,4),则点A关于原点对称的点的坐标为(C)(A)(1,-3,-4)(B)(-4,1,-3)(C)(3,-1,-4)(D)(4,-1,3)解析:关于原点对称的点的坐标的特点是横、纵、竖坐标全部变为原来的相反数.故选C.4.正方体不在同一表面上的两个顶点为A(-1,2,-1),B(3,-2,3),则正方体的体积为(C)(A)8(B)27(C)64(D)128解析:由于A、B是正方体不在同一个平面上的两个顶点,所以A、B必为正方体一体对角线的两顶点,由于|AB|=4,故正方体的边长为4,体积为43=64.故选C.5

3、.以棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为(B)(A)(B)(C)(D)解析:连接AB1和A1B交于点O.据题意知AB1与A1B的交点即为AB1的中点.由题意得A(0,0,0),B1(1,0,1),AB1的中点坐标为,故选B.6.已知空间直角坐标系Oxyz中有一点A(-1,-1,2),点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则A、B两点的最短距离是(B)(A)(B)(C)3(D)解析:法一因为点B在平面xOy内的直线x+y=1上,故可设点B为(x,-x+1,0),所以|AB|=

4、,所以当x=,即B时,|AB|取得最小值.故选B.法二设点A在平面xOy内的射影为A(-1,-1,0),则A、B的最短距离等于平面直角坐标系中A(-1,-1)到直线x+y=1的距离d,则d=.又|AA|=2,则|AB|min=.故选B.二、填空题7.在空间直角坐标系中,点M(2,1,-3)关于坐标原点的对称点为M,则M在平面xOz上的射影M的坐标是.解析:点M(2,1,-3)关于原点的对称点为M(-2,-1,3),点M在平面xOz上的射影M的坐标是(-2,0,3).答案:(-2,0,3)8.已知点A(1,-2,1)关于平面xOy的对称点为A1,则|AA1|=.解析:易知A1(1,-2,-1),

5、所以|AA1|=2.答案:29.已知点A(1,2,3),B(2,-1,4),点P在y轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为.解析:设P(0,b,0),因为|PA|=|PB|,所以=,解得b=-.答案:0,-,010.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3),且MNxOz面,垂足为N,则N点关于原点的对称点的坐标是.解析:因为点M(-2,4,-3),且MNxOz面,垂足为N,所以N(-2,0,-3),所以N点关于原点的对称点的坐标是(2,0,3).答案:(2,0,3)三、解答题11.如图所示,在长方体OABCO1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,E是BC的中点,作

6、ODAC于点D,求线段B1E的长度及顶点O1到点D的距离.解:以O为坐标原点,以OA,OC,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),O1(0,0,2),B1(2,3,2),E(1,3,0),|B1E|=.设D(x,y,0),在RtAOC中,|OA|=2,|OC|=3,|AC|=,|OD|2=2=,|O1D|=.12.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,F是BD的中点,G在CD上,且|CG|=|CD|,E为C1G的中点,求EF的长.解:如图所示,建立空间直角坐标系,由题意得F,C1(0,1,1),G,所以E,所以|EF|=.即EF的长为.13.如图所

7、示,正四面体ABCD的棱长为1,E、F分别是棱AB、CD的中点.(1)建立适当的空间直角坐标系,写出顶点A,B,C,D的坐标;(2)求EF的长.解:(1)设底面正三角形BCD的中心为O,连接AO,DO,延长DO交BC于点M,则AO平面BCD,M是BC的中点,且DMBC,过O作ONBC,交CD于点N,则ONDM.以O为坐标原点,OM,ON,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则|OD|=|DM|=,|OM|=|DM|=,|OA|=,所以A0,0,B,-,0,C,0,D-,0,0.(2)由(1)及中点坐标公式得E,-,F-,0,|EF|=.大题冲关集训(四) 1.(20

8、13广东十校联考)在如图所示的几何体中,ABC是边长为2的正三角形.若AE=1,AE平面ABC,平面BCD平面ABC,BD=CD,且BDCD.(1)求证:AE平面BCD;(2)求三棱锥DBCE的体积.(1)证明:取BC的中点M,连接DM、AM,因为BD=CD,所以DMBC,又因为平面BCD平面ABC,BC为交线,所以DM平面ABC,因为AE平面ABC,所以AEDM,又因为AE平面BCD,DM平面BCD,所以AE平面BCD.(2)解:由(1)知AEDM,在BCD中,CDBD,CD=BD,所以MD=BC=1=AE,所以四边形AMDE是平行四边形,所以DEAM,且DE=AM=,因为DM平面ABC,所

9、以DMAM,又AMBC,BCDM=M,所以AM平面BCD,所以DE平面BCD,则=SBCDDE=BCDMDE=21=.2.(2013甘肃天水市一中模拟)如图所示,三棱柱A1B1C1ABC的三视图中,正视图和侧视图是全等的矩形,俯视图是等腰直角三角形,点M是A1B1的中点.(1)求证:B1C平面AC1M;(2)求证:平面AC1M平面AA1B1B.证明:(1)由三视图可知三棱柱A1B1C1ABC的侧棱垂直于底面,底面是等腰直角三角形,且ACB=90.如图所示,连接A1C,设A1CAC1=O,连接MO,由题意可知,A1O=CO,A1M=B1M,MOB1C,又MO平面AC1M,B1C平面AC1M,B1

10、C平面AC1M.(2)A1C1=B1C1,M为A1B1的中点,C1MA1B1,又平面A1B1C1平面AA1B1B,平面A1B1C1平面AA1B1B=A1B1,C1M平面AA1B1B,C1M平面AC1M,平面AC1M平面AA1B1B.3.(2012年高考广东卷)如图所示,在四棱锥PABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点,F是CD上的点且DF=AB,PH为PAD中AD边上的高.(1)证明:PH平面ABCD;(2)若PH=1,AD=,FC=1,求三棱锥EBCF的体积;(3)证明:EF平面PAB.(1)证明:因为AB平面PAD,PH平面PAD,所以PHAB.因为PH为PAD中

11、AD边上的高,所以PHAD.因为ABAD=A,所以PH平面ABCD.(2)解:连接BH,取BH的中点G,连接EG.因为E是PB的中点,所以EGPH,且EG=PH=.因为PH平面ABCD,所以EG平面ABCD,因为AB平面PAD,AD平面PAD,所以ABAD,所以底面ABCD为直角梯形,所以=SBCFEG=FCADEG=.(3)证明:取PA中点M,连接MD,ME.因为E是PB的中点,所以ME􀱀AB.又因为DF􀱀AB,所以ME􀱀DF,所以四边形MEFD是平行四边形,所以EFMD.因为PD=AD,M为PA的中点,所以MDPA.因为AB平面PAD,

12、所以MDAB.因为PAAB=A,所以MD平面PAB,所以EF平面PAB.4.(2013天津海滨新区联考)在如图的多面体中,EF平面AEB,AEEB,ADEF,EFBC,BC=2AD=4,AE=BE=2,G是BC的中点.(1)求证:AB平面DEG;(2)求直线BD与平面BCFE所成角的正切值;(3)求证:BDEG.(1)证明:ADEF,EFBC,ADBC.又BC=2AD,G是BC的中点,AD􀱀BG,四边形ADGB是平行四边形,ABDG.AB平面DEG,DG平面DEG,AB平面DEG.(2)解:EF平面AEB,AE平面AEB,EFAE,又AEEB,EBEF=E,AE平面BCFE.

13、过D作DHAE交EF于H,连接BH,则DH平面BCFE,BH是BD在平面BCFE内的射影,故DBH是直线BD与平面BCFE所成的角.ADEF,DHAE,四边形AEHD是平行四边形,DH=AE=2,在RtBEH中,BH=2,tanDBH=,所以直线BD与平面BCFE所成的角的正切值是.(3)证明:DH平面BCFE,EG平面BCFE,DHEG.EHBG,EH=BG=BE,EHBE,四边形BGHE为正方形,BHEG,又BHDH=H,EG平面BHD.BD平面BHD,BDEG.5.(2013山东潍坊一模)如图所示,四边形ABCD中,ABAD,ADBC,AD=6,BC=4,AB=2,点E、F分别在BC、A

14、D上,EFAB.现将四边形ABEF沿EF折起,使平面ABEF平面EFDC,设AD中点为P.(1)当E为BC中点时,求证:CP平面ABEF.(2)设BE=x,问当x为何值时,三棱锥ACDF的体积有最大值?并求出这个最大值.解:(1)取AF的中点Q,连QE、QP,则QP􀱀DF,又DF=4,EC=2,且DFEC,所以QP􀱀EC,即四边形PQEC为平行四边形,所以CPEQ,又EQ平面ABEF,CP平面ABEF,故CP平面ABEF.(2)因为平面ABEF平面EFDC,平面ABEF平面EFDC=EF,AFEF,所以AF平面EFDC.由已知BE=x,所以AF=x(0x4)

15、,FD=6-x,故=SCDFAF=2(6-x)x=(6x-x2)=-(x-3)2+9=-(x-3)2+3.所以,当x=3时,有最大值,最大值为3.6.(2013北京西城期末统考)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,CC1平面ABC,ACBC,AC=BC=CC1=2,M,N分别为AC,B1C1的中点.(1)求线段MN的长;(2)求证:MN平面ABB1A1;(3)线段CC1上是否存在点Q,使A1B平面MNQ?说明理由.(1)解:连接CN.因为三棱柱ABCA1B1C1中,CC1平面ABC,所以ACCC1.因为ACBC,CC1BC=C,所以AC平面BCC1B1.因为MC=1,CN=,所以MN=.(2)证

16、明:取AB中点D,连接DM,DB1.在ABC中,因为M为AC中点,所以DMBC,DM=BC.在矩形B1BCC1中,因为N为B1C1中点,所以B1NBC,B1N=BC.所以DMB1N,DM=B1N.所以四边形MDB1N为平行四边形,所以MNDB1.因为MN平面ABB1A1,DB1平面ABB1A1,所以MN平面ABB1A1.(3)解:线段CC1上存在点Q,且Q为CC1中点时,有A1B平面MNQ.证明如下:连接BC1.在正方形BB1C1C中易证QNBC1.又由(1)知A1C1平面BB1C1C,所以A1C1QN,又BC1A1C1=C1,从而NQ平面A1BC1.所以A1BQN.同理可得A1BMQ,又QNMQ=Q,所以A1B平面MNQ.故线段CC1上存在点Q,使得A1B平面MNQ.