1、43对数函数43.1对数的概念新课程标准解读核心素养理解对数的概念和对数的性质，理解对数与指数幂的关系数学抽象、数学运算薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树木枯萎、花草凋零经测算，薇甘菊的侵害面积S(单位：hm2)与年数t满足关系式SS01.057t，其中S0(单位：hm2)为侵害面积的初始值现在，设经过t年后，薇甘菊的侵害面积会增长到原来的5倍可得S01.057t5S0，即1.057t5.问题用什么样的方式表示出t的值呢？知识点一对数的概念1定义：如果abN(a0且a1)，那么叫作以a为底，(正)数N的对数记作blogaN(这里a叫作对数的底数，叫作对数的真数)2对数
2、恒等式(1)aN(N0，a0且a1)；(2)blog(bR，a0且a1)对数与指数的关系指数式与对数式的互化(其中a0，且a1)：(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算；(2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键 1式子logmN中，底数m的范围是什么？提示：m0且m1.2对数式logaN是不是loga与N的乘积？提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)对数式log32与log23的意义一样()(2)(2)38可化为log(2)(8)3.()(3)对数运算的实质是求幂指数()答案：(1)(2)(3)
3、2若a2M(a0，且a1)，则其对数式为_答案：logaM23把对数式loga492写成指数式为_答案：a249知识点二对数的基本性质1负数和0没有对数；2loga1(a0，且a1)(1的对数为0)；3logaa(a0，且a1)(底的对数为1)1log30，则x_答案：32若6log6(5x1)36.则x_解析：由6 log6(5x1)36得5x136，解得x7.答案：7指数式与对数式的互化例1(链接教科书第112页例1)(1)将下列指数式改写成对数式：2416，25；(2)将下列对数式改写成指数式：log51253，log164.解(1)log2164，log25.(2)53125，16.指
4、数式与对数式互化的方法(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式；(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式 跟踪训练下列指数式与对数式的互化不正确的一组是()A1001与log1010B27与log273Clog392与329Dlog551与515解析：选B1001即log1010，A正确；27即log27，B不正确；log392即329，C正确；log551即515，D正确故选B.利用指数式与对数式的互化求值例2(链接教科书第113页练习3题)利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值：(1)log2x；(2)lo
5、gx252；(3)log5x22；(4)24.解(1)由log2x，得2x，x.(2)由logx252，得x225.x0，且x1，x5.(3)由log5x22，得x252，x5.52250，(5)2250，x5或x5.(4)由2422，得log3x2，x32，即x9.利用指数式与对数式的互化求变量值的策略(1)已知底数与指数，用指数式求幂；(2)已知指数与幂，用指数式求底数；(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数 跟踪训练1若logx42，则x的值为()A2B2C2 D解析：选Blogx42，x24，又x0，x2.故选B.2若log5x2，logy83，则xy_解析：log5x2，x5225.
6、logy83，y38，y2，xy27.答案：27利用对数恒等式与对数的性质求值例3(链接教科书第113页例2)求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)0；(2)22；(3)log3(log4(log5x)0.解(1)log2(log5x)0，log5x201，x515.(2)22，x12，x1.(3)由log3(log4(log5x)0可得log4(log5x)1，故log5x4，x54625.母题探究1(变条件)本例(3)中若将“log3(log4(log5x)0”改为“log3(log4(log5x)1”，又如何求解x呢？解：由log3(log4(log5x)1可得，log4(lo
7、g5x)3，则log5x4364，所以x564.2(变条件)本例(3)中若将“log3(log4(log5x)0”改为“31”，又如何求解x呢？解：由31可得log4(log5x)1，故log5x4，所以x54625.利用对数性质求解的2类问题的解法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值；(2)已知多重对数式的值求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解 跟踪训练已知log3(log5a)log4(log5b)0，则的值为()A1 B1C5 D解析：选A由log3(log5a)0得log5a1，即a
8、5，同理b5，故1.1若7x8，则x()A. Blog87Clog78 Dlog7x解析：选C由7x8xlog78.故选C.2若logac(a0，且a1，b0)，则有()Aba7c Bb7acCb7ac Dbc7a解析：选Alogac，ac.(ac)7()7.a7cb.3在对数式blog(a2)(5a)中，实数a的取值范围是()Aa5或a2 B2a5C2a3或3a5 D3a4解析：选C由题意得解得2a3或3a5.4已知6a8，则(1)log68_；(2)log62_；(3)log26_(用a表示各式)解析：(1)log68a.(2)由6a8得6a23，即62，所以log62.(3)由62得26，所以log26.答案：(1)a(2)(3)6