1、2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理工农医类）第卷（选择题共50分）参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 其中、分别表示 上、下底面周长，表示斜高或母线长. 球体的体积公式： ，其中R 表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.（1）设集合，则等于（A）（B）（C）（D）或（2）设，则（A）（B）（C）（D）（3）“”是“”的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件 （C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件4已知是平面，是直线，下列命题中不正确的是（A）若，则（B）若，则（
2、C）若，则（D）若，则5极坐标方程表示的曲线是（A）圆（B）椭圆（C）抛物线（D）双曲线6若，且，则的最小值是（A）2（B）3（C）4（D）57如果圆台的母线与底面成角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（A）（B）（C）（D）8从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植不同的种植方法共有（A）24种（B）18种（C）12种（D）6种9若数列的通项公式是，则等于（A）（B）（C）（D）10某班试用电子投票系统选举班干部候选人全班名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”令其中，且，则同时同意第
3、1、2号同学当选的人数为（A） （B）（C） （D）第卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11，其中 为偶函数12已知双曲线方程为，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为 13一底面半径为的圆柱，被一平面所截剩下部分母线最大值为，最小值为，那么圆柱被截后剩下部分的体积为 14一根长为1的铁丝，分成两段分别围成一个正方形和一个圆，当正方形和圆的面积之和最小时，正方形的周长为 三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（本小题满分13分）已知函数（）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值
4、和最小值. 16（本小题满分13分）已知数列是等差数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）设数列（），求数列的前项和公式.17（本小题满分15分）如图，已知正三棱柱底面边长为3，为延长线上一点，且（1）求证：直线面；（2）求二面角的大小；（3）求三棱锥的体积18（本小题满分15分）如图，已知椭圆的长轴与轴平行，短轴在轴上，中心（）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；（）设直线与椭圆交于，（），直线与椭圆次于，（）求证：；（）对于（）中的在，设交轴于点，交轴于点，求证：（证明过程不考虑或垂直于轴的情形）19（本小题满分14分）有三个新兴城镇分别位于、三点处，且，今计划合建一个中心医院，为同时方便
5、三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图）（）若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？（）若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？20（本小题满分14分）设是定义在区间上的函数，且满足条件，对任意的、，都有（）证明：对任意，都有（）证明：对任意的都有（）在区间上是否存在满足题设条件的奇函数且使得若存在请举一例，若不存在，请说明理由2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.1A 2D 3A 4B 5D 6B 7C 8B 9C 10C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4
6、分,满分16分.11 12 13 14三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分. （）解：因为所以的最小正周期（）解：因为,所以当时，取最大值为,当时，取最小值为1的最大值为1,最小值为16本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分. （）解：设数列公差为，则 又所以（）解：由得 当x1时，将式减去式，得 当x=1时， 综上可知，当x=1时， 当x1时，17本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥
7、的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.（）证明：CDC1B1 ，又BD=BC=B1C1，四边形BDB1C1是平行四边形BC1DB1 又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D直线BC1平面AB1D（）解：过B作BEAD于E，连结EB1， BB1平面ABD B1EAD B1EB是二面角B1ADB的平面角 BD=BC=AB E是AD的中点， BE=AC=在RtB1BE中，tanB1EB= B1EB= 即二面角B1ADB的大小为 （）解法一：过A作AFBC于F， BB1平面ABC， 平面ABC平面BB1C1C， AF平面BB1C1C 且AF= = = 即三棱锥C1ABB1的体
8、积为18本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分. （）解：椭圆方程为 焦点坐标为， 离心率（）证明：证明：将直线CD的方程代入椭圆方程，得 整理得 根据韦达定理，得 ， 所以 将直线GH的方程代入椭圆方程，同理可得 由 、得 = 所以结论成立（）证明：设点P，点Q 由C、P、H共线，得 解得 由D、Q、G共线，同理可得 由 = 变形得 = 所以 即 19本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. （）解：由题设条件ab0,设P的坐标为（0，），则P至三镇距离的平方和为 =所以，当时，函数取得最小值.
9、答:点P的坐标是（）解：记P至三镇的最远距离为 由解得记于是 当，即时，因为在上是增函数，而上是减函数. 所以时,函数取得最小值. 点P的坐标是当，即时，因为在上当y=0函数取得最小值b，而上是减函数,且 ，所以时, 函数取得最小值. 答：当时，点P的坐标是 当时，点P的坐标是，其中20本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.（）证明：由题设条件可知，当时，有即（）对任意的，当当不妨设 则从而有总上可知，对任意的，都有（）答：这样满足所述条件的函数不存在.理由如下： 假设存在函数满足条件，则由 得又，所以 又因为为奇函数，所以，由条件 得所以 与矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.