1、45函数应用(二)【素养目标】1结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系(直观想象，数学抽象)2结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性(逻辑推理，数学运算)3理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律(数学建模)【学法解读】本节在学习中首先利用方程的解引出函数的零点，体现数学素养中的数学抽象，再把函数的零点、方程的解与函数的图象与x轴交点横坐标三者统一，结合函数的图象及性质会判断函数
2、零点问题，对函数的实际应用问题，学生应学会对问题进行分析，灵活运用所学过的数学知识，建立“量”与“量”之间的函数关系，把实际问题转化为函数问题，通过对函数问题的解决达到解决实际问题的目的45.1函数的零点与方程的解必备知识探新知基础知识知识点1 函数的零点(1)函数f(x)的零点是使f(x)0的实数x(2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系思考1：(1)函数的零点是点吗？(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)0根的个数有什么关系？提示：(1)不是，是使f(x)0的实数x，是方程f(x)0的根(2)相等知识点2 函数的零点存在定理(1)条件：函数yf(x)在区间a，b
3、上的图象是连续不断的曲线，f(a)f(b)0；(2)函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c(a，b)使f(c)0，这个c也就是f(x)0的根思考2：(1)函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？(2)函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)0.基础自测1函数f(x)4x6的零点是(C)AB(，0)CD解析令4x60，得x，函数f(x)4x6的零点是.2(2021广州荔湾区高一期末测试)函数f(x)x2log2x，则f(x)的零点所在区间为(B)A(0，1)B(1，2) C(2，
4、3)D(3，4)解析f(1)1log211，f(2)log221，f(1)f(2)0，故选B3若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是(B)Aa1Ba1 Ca1Da1解析函数f(x)x22xa没有零点，即方程x22xa0没有实数根，所以44a0，得a1.4二次函数yax2bxc中，ac0，则函数有2个零点解析令ax2bxc0，b24ac，ac0，方程ax2bxc0有两个不相等实根，二次函数yax2bxc(ac0)有2个零点5求下列函数的零点(1)f(x)x25x6；(2)f(x)x37x6；(3)f(x)()x4；(4)f(x)lnx1.解析(1)令x25x60，得(x6)(x1
5、)0，x11，x26，函数f(x)的零点为1，6.(2)令x37x60，得x3x6x60，x(x1)(x1)6(x1)0，(x1)(x2x6)0，(x1)(x3)(x2)0，x13，x21，x32.函数f(x)的零点为3，1，2.(3)令()x40，得()x4，x2.函数f(x)的零点为2.(4)令lnx10，得lnx1，xe.函数f(x)的零点为e.关键能力攻重难题型探究题型一求函数的零点(方程的根)例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)x24x4；(2)f(x)；(3)f(x)4x5；(4)f(x)log3(x1)分析求函数的零点，就是求相应方程的实数根解析(1)令
6、x24x40，解得x2，所以函数f(x)存在零点，且零点为x2.(2)令0，解得x1，所以函数f(x)存在零点，且零点为x1.(3)令4x50，显然方程4x50无实数根，所以函数f(x)不存在零点(4)令log3(x1)0，解得x0，所以函数f(x)存在零点，且零点为x0.归纳提升1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实根，有几个实根即函数yf(x)的零点方程f(x)0的实根函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函
7、数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根(2)几何法：与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点【对点练习】 (1)求下列函数的零点：f(x)x22x3零点为3，1；g(x)lgx2零点为(2)已知1和4是函数f(x)ax2bx4的零点，则f(1)6.解析(1)f(x)(x3)(x1)，令f(x)0，得x11，x23，f(x)的零点为3和1，由lgx20得，lgx2，x.故g(x)的零点为.(2)由条件知，f(1)ab46.题型二判断零点所在的区间例2(2020江西宜丰中学高一期末测试)函数f(x)lnxx39的零点所在的区间为(C)A(0，1)B(1，
8、2)C(2，3)D(3，4)分析根据函数零点的存在性原理判断函数零点所在的区间解析f(1)1980，f(2)ln289ln210，f(2)f(3)0，函数f(x)的零点所在的区间为(2，3)归纳提升判断函数零点所在区间的方法：一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断【对点练习】 函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是(C)A(2，1)B(1，0)C(0，1)D(1，2)解析f(2)e222e2440，f(1)e11230，f(0)e02120，f(0)f(1)0，函数f(x
9、)的零点所在的一个区间为(0，1)题型三函数零点个数问题例3函数f(x)(x2)(x5)1有两个零点x1，x2，且x1x2，则(C)Ax12，2x22且x25Cx15D2x15分析f(x)的图象是由g(x)(x2)(x5)的图象向下平移1个单位得到的，由g(x)的零点可判断x1，x2的取值范围解析作出函数g(x)(x2)(x5)的图象如图，将yg(x)的图象向下平移1个单位即得yf(x)的图象，由图象易知x15，故选C归纳提升判断函数yf(x)的零点的个数的方法(1)解方程法，方程f(x)0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数(2)借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断(3)如果函数
10、图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断特别地，对于形如yh(x)g(x)的函数，可依据函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数yh(x)g(x)的零点的个数【对点练习】 (1)f(x)的零点个数为(B)A3B2C1D0(2)若函数f(x)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(0，1解析(1)当x0时，由f(x)x22x30得x13，x21(舍去)；当x0时，由f(x)2lnx0得xe2.函数的零点个数为2.(2)当x0时，由f(x)lnx0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点，令f(x)0得a2x，因为02x201，所以0a
11、1，所以实数a的取值范围是(0，1题型四一元二次方程根的分布问题例4(2020天津市河西区高一期末测试)已知函数f(x)x22mx3m4.(1)若f(x)有且只有一个零点，求实数m的值；(2)若f(x)有两个零点，且均比1大，求m的取值范围分析(1)f(x)有且只有一个零点，即方程x22mx3m40有两个相等实数根；(2)f(x)有两个零点，且均比1大，即方程x22mx3m40在(1，)上有两个实数根解析(1)由题意可知方程x22mx3m40有两个相等实数根，4m24(3m4)0，即m23m40，m1或m4.(2)由题意得，解得5m1.实数m的取值范围是(5，1)归纳提升解决一元二次方程根的分
12、布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解【对点练习】 若方程kx2(2k1)x30的两根x1，x2满足1x11x23，求实数k的取值范围解析函数f(x)kx2(2k1)x3的图象是连续曲线，则由题意可知f(1)f(1)0且f(1)f(3)0，即解得k2.故实数k的取值范围是k|k2课堂检测固双基1函数f(x)x3x的零点个数是(D)A0B1C2D3解析f(x)x(x1)(x1)，令x(x1)(x1)0，解得x0或x1或x1，即函数的零点为1，0，1，共3个2(2021广东省肇庆市模拟)“m1”是“函数f(x)x2xm有零点”的(C)A充分不必要条件B充要
13、条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件解析函数f(x)x2xm有零点，方程x2xm0有解，则14m0，解得m，由于mm1，m1m，“m0，f(2)4260，f(0)2010，f(1)10，f(1)f(0)0，故选C4设函数f(x)在区间a，b上是单调函数，且f(a)f(b)0，则方程f(x)0在闭区间a，b内有1个根解析由f(a)f(b)0知f(x)0在a，b上至少有一个实数根，又f(x)在a，b上为单调函数，从而可知必有唯一实数根5函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，求函数g(x)bx2ax1的零点解析由题意知方程x2axb0的两个根是2和3，a5，b6，g(x)6x25x1，由6x25x10，解得x1，x2.函数g(x)的零点是，.