1、3.3.2简单的线性规划问题1.(2017浙江)若x，y满足约束条件则zx2y的取值范围是A.0，6B.0，4C.6，)D.4，)解析作出不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，将zx2y变形为y，由图可知y过点(2，1)时z取到最小值为4，故z4，).答案D2.目标函数zxy在的线性约束条件下，取得最大值的可行解为A.(0，1) B.(1，1)C.(1，0) D.解析可以验证这四个点均是可行解，当x0，y1时，z1；当x1，y1时，z0；当x1，y0时，z1；当x，y时，z0.排除选项A、B、D，故选C.答案C3.(2016山东)若变量x，y满足则x2y2的最大值是A.4 B.9 C.10
2、 D.12解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设P(x，y)为平面区域内任意一点，则x2y2表示|OP|2.由解得故A(3，1)，由解得故B(0，3)，由解得故C(0，2).|OA|210，|OB|29，|OC|24.显然，当点P与点A重合时，|OP|2即x2y2取得最大值.所以x2y2的最大值为32(1)210.答案C4.一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤卖5元，稻米每公斤卖3元，现该农民手头有400元，那么获得最大收益为_元.解析设该
3、农民种x亩水稻，y亩花生时能获得利润z元，则即z960x420y，作出可行域如图阴影部分所示，将目标函数变形为yx，作出直线yx，在可行域内平移直线yx，可知当直线yx过点B时，纵截距有最大值，由，解得B，故当x1.5，y0.5时，zmax1 650元，故该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1 650元.答案1 650限时45分钟；满分80分一、选择题(每小题5分，共30分)1.(2017山东)已知x，y满足约束条件则zx2y的最大值是A.3 B.1 C.1 D.3解析作出不等式组的可行域如图(阴影部分)所示，由zx2y得yx，平移直线yx，由图象可以知道当直线yx
4、经过点A时截距最大，此时z最大，由得A(1，2)，代入zx2y1223.即zx2y的最大值为3.答案D2.设变量x，y满足约束条件则目标函数zx6y的最大值为A.3 B.4 C.18 D.40解析由约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，当动直线x6yz0过点(0，3)时，zmax06318.故选C.答案C3.设实数x，y满足不等式组则的取值范围是A. B. C. D.解析不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，点A(3，0)与点(x，y)连线的斜率为，则kACkAB，而kAC，kAB.故选B.答案B4.(2016北京)已知A(2，5)，B(4，1).若点P(x，y)在线段AB上，则2xy的最大值
5、为A.1 B.3 C.7 D.8解析如图所示，作直线2xy0，向右下平移，当直线过点B(4，1)时，z2xy取最大值，得zmax2417，故选C.答案C5.已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则aA. B. C.1 D.2解析画出可行域如图所示，直线z2xy可化为y2xz，由图可知，z2xy在点A处取得最小值1，此时2xy1，联立方程得得A(1，1)，代入ya(x3)得a.答案B6.(能力提升)某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为甲
6、乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元解析假设每天生产甲、乙产品分别为x，y吨，由已知得利润z3x4y.由线性约束条件画出如图所示的可行域，由几何意义，可知z在点A(2，3)处取得最大值，此时zmax324318.答案D二、填空题(每小题5分，共15分)7(2018全国卷)若变量x，y满足约束条件则zxy的最大值是_解析通解作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x2与直线x2y40的交点(2，3)时，zxy取得最大值，即zmax233.优解易知zxy在可行域的顶点处取得最大
7、值，由解得代入zxy，可得z；由解得代入zxy，可得z；由解得代入zxy，可得z3.比较可知，z的最大值为3.答案38.已知a0，b0，且满足2a2b4.则a2b2的取值范围是_.解析可行域如图阴影部分所示.点O到AB的距离d.OD4.所以a2b216.答案9.(能力提升)已知x，y满足约束条件如果是zaxy取得最大值时的最优解，则实数a的取值范围是_.解析画出可行域如图，将目标函数化为直线的斜截式方程yaxz，当目标函数的斜率大于等于3yx2的斜率时，直线yaxz在点处截距最小，即a时，是目标函数zaxy取得最大值时的最优解.答案三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)若x，y
8、满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)若目标函数zax2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围.解析(1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)，平移初始直线yx，过A(3，4)时z取得最小值2，过C(1，0)时，z取得最大值1.所以z的最大值为1，最小值为2.(2)由ax2yz，得yx，因为直线ax2yz仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知12，解得4a2.故所求a的取值范围为(4，2).11.(12分)设m1，在约束条件下，目标函数zxmy的最大值小于2，求m的取值范围.解析画出可行域，如图中阴影部分所示，直线ymx与xy1的交点为A，则A.由
9、图可知zxmy在点A处取得最大值，则2，又m1，即解得1m1，即m的取值范围为(1，1).12.(12分)(能力提升)某家公司每月生产两种布料A和B，所用原料是两种不同颜色的羊毛，下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量.羊毛颜色每匹需要(kg)供应量(kg)布料A布料B红441 400绿631 800已知生产每匹布料A、B的利润分别为120元、80元.那么如何安排生产才能够产生最大的利润？最大的利润是多少？解析设每月生产布料A为x匹、生产布料B为y匹，利润为Z元，那么；目标函数为z120x80y40(3x2y)，作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域.解方程组得M点的坐标为(250，100).所以当x250，y100时，zmax120x80y38 000.