1、3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课时过关能力提升基础巩固1 下列说法正确的是()A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底a,b,c中基向量与基底e,f,g中基向量对应相等解析:A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B 项,空间基底有无数个;D 项中因为基底不唯一,所以 D 错.故选 C.答案:C2 已知点 A 在基底a,b,c下的坐标为(8,6,4),其中 a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点 A 在基底i,j,k下的坐标是()A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(1
2、4,12,10)D.(4,3,2)解析:a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k.答案:A3 在空间直角坐标系 Oxyz 中,下列说法正确的是()A.向量 与点 的坐标相同B.向量 与点 的坐标相同C.向量 与向量 的坐标相同D.向量 与向量 的坐标相同答案:D4 点 A(-1,2,1)在 x 轴上的投影点和在 xOy 平面上的投影点的坐标分别为()A.(-1,0,1),(-1,2,0)B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0)D.(-1,2,0),(-1,2,0)解析:由点 A 在 x 轴投影知 y=0,z=0,由点
3、A 在 xOy 平面投影知 z=0.故选 B.答案:B5 设i,j,k是空间的一个单位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,则向量 a,b 的坐标分别为 ,.答案:(2,-4,5)(1,2,-3)6 已知a,b,c是空间的一个基底,下列向量可以与 p=2a-b,q=a+b 构成空间的另一个基底的是 (填序号).2a-b c a+c答案:7 如图,在梯形 ABCD 中,ABCD,AB=2CD,点 O 为空间任一点,设 a b c,则向量 用a,b,c 表示为 .答案:c8 如图所示,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,建立适当的空间直角坐标系,求 的坐标 解:以 为
4、单位正交基底,建立空间直角坐标系,如图所示,则 9 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点,并且 PA=AD=1,如图所示,设 e1 e2 e3,以e1,e2,e3为单位正交基底建立空间直角坐标系 Axyz,求向量 的坐标 解:由题意得 e2.e2-e1-e3,=e3 e2-e1-e3)=()能力提升1 设 p:a,b,c 是三个非零向量;q:a,b,c为空间的一个基底,则 p 是 q 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当非零向量 a,b,c 不共面时,a,b,c可以当基底,否则不能当基底.当a,b,
5、c为基底时,一定有 a,b,c为非零向量.答案:B2 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中点为 M,B1D1的中点为 N,若以 为单位正交基底 则 的坐标为 A()()C()()解析:故 ()答案:C3 如图,在空间四边形 OABC 中 a b c,点 M 在 OA上,且 是 的中点 a+yb+zc,则 x,y,z 的值为()A B.C D 答案:B4 若向量 的起点与终点 互不重合且无三点共线 且满足下列关系 是空间任一点 则能使向量 成为空间一个基底的关系是 A B C D 解析:若 为空间一组基底向量,则 M,A,B,C 四点不共面.A 中 M,A,B,C 共
6、面;B中 但可能 可能共面;D 中四点显然共面.答案:C5 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量 a 在基底 下的坐标为 若分别以 的方向为 轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系 则向量a 的空间直角坐标为()A.(2,1,-3)B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9)D.(-1,8,-9)解析:a=j-i-9k=(-1,8,-9).答案:D6 设i,j,k是空间向量的单位正交基底,a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k,则向量 a,b 的关系是 .解析:ab=-6i2+8j2-2k2=-6+8-2=0,ab.答案:ab7 已知在空间四边形
7、 ABCD 中 a-2c a+6b-8c,对角线 AC,BD 的中点分别为E,F,则 解析:且 两式相加,得 E 为 AC 的中点,F 为 BD 的中点,0 0.a-2c)+(5a+6b-8c)=6a+6b-10c.a+3b-5c.答案:3a+3b-5c8 已知向量 p 在基底a,b,c下的坐标是(2,3,-1),求 p 在基底a,a+b,a+b+c下的坐标.解:由已知得 p=2a+3b-c.设 p=xa+y(a+b)+z(a+b+c)=(x+y+z)a+(y+z)b+zc,则有 -解得 -故p 在基底a,a+b,a+b+c下的坐标为(-1,4,-1).9 已知正方体 ABCD-ABCD,点 E 是上底面 ABCD的中心,求 中 的值 解:x 10如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别是 BB1,D1B1的中点,求证:EF平面 B1AC.分析:设 a c b,把向量 和 分别用a,b,c 表示出来,证明 即可.证明:设 a c b,有|a|=|b|=|c|,ab=0,ac=0,bc=0.则 a+b+c),a+b.a+b+c)(a+b)b|2-|a|2)=0.即EFAB1.同理 EFB1C.AB1B1C=B1,EF平面 B1AC.