1、2.2.2反证法课时过关能力提升一、基础巩固1.下列命题不适合用反证法证明的是()A.同一平面内,分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B.两个不相等的角不是对顶角C.平行四边形的对角线互相平分D.已知x,yR,且x+y2,求证:x,y中至少有一个大于1答案:C2.当用反证法证明命题“设a,b为实数,则关于x的方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.关于x的方程x3+ax+b=0没有实根B.关于x的方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.关于x的方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.关于x的方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析:“至少有一个”的否定为“没有”.答案:
2、A3.设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于()A.0B.13C.12 D.1 答案:B4.当用反证法证明:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为()A.a,b,c都是偶数B.a,b,c都是奇数C.a,b,c中至少有两个偶数D.a,b,c都是奇数或至少有两个偶数解析:自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形:3个都是奇数,1个偶数2个奇数,2个偶数1个奇数,3个都是偶数,所以否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a,b,c都是奇数或至少有两个偶数”.答案:D5.将用反证法证明命题“若直线AB,CD是异面直线,则直线AC,BD也是异面直线”的
3、过程归纳为以下三个步骤:所以假设错误,即直线AC,BD也是异面直线;因为A,B,C,D四点共面,所以AB,CD共面,这与AB,CD是异面直线矛盾;假设直线AC,BD是共面直线.则正确的序号顺序为()A.B.C.D.解析:结合反证法的证明步骤可知,其正确步骤为.答案:B6.已知数列an,bn的通项公式分别为an=an+2,bn=bn+1(a,b是常数),且ab,则两个数列中序号与数值均相同的项有()A.0个B.1个C.2个D.无穷多个解析:假设存在序号和数值均相等的项,即存在n,使得an=bn,则an+2=bn+1,即an+1=bn,则bnan,即ba,这与已知ab矛盾.故不存在n,使得an=b
4、n,应选A.答案:A7.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:A+B+C=90+90+C180,这与三角形的内角和为180矛盾,故假设错误;所以一个三角形不能有两个直角;假设ABC中有两个直角,不妨设A=B=90.上述步骤的正确顺序为.解析:根据反证法证题的三个步骤:否定结论、导出矛盾、得出结论,知正确的顺序应为.答案:8.在ABC中,若AB=AC,P是ABC内的一点,APBAPC,求证:BAPCAP.用反证法证明时应分:假设和两类.解析:反证法对结论的否定是全面否定,BAPCAP.答案:BAP=CAPBAPCAP9.已知f(x)=ax+x-2x+1(a1),证明方程f(x)=0
5、没有负实根.证明:假设方程f(x)=0有负实根x0,则x00,且x0-1,ax0=-x0-2x0+1.由0ax01,得0-x0-2x0+11,解得12x02,这与x00,且x+y2.求证:1+xy,1+yx中至少有一个小于2.分析:解答本题的关键是用反证法证明时,不要忽略x0,y0.证明:假设1+xy,1+yx都不小于2,即1+xy2,1+yx2.x0,y0,1+x2y,1+y2x.2+x+y2(x+y),即x+y2,这与已知x+y2矛盾.1+xy,1+yx中至少有一个小于2.二、能力提升1.已知a,b是异面直线,如果直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为()A.一定是异面直线B.一定是相
6、交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析:假设cb,而由ca,可得ab,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线,应选C.答案:C2.设x,y,z都是正实数,a=x+1y,b=y+1z,c=z+1x,则a,b,c三个数()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2解析:若a,b,c都小于2,则a+b+c0”是“P,Q,R同时大于零”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:必要性显然成立.充分性:若PQR0,则P,Q,R同时大于零或其中有两个负数一个正数,不妨假设P0,Q0.P0,Q0,a+bc,b+ca,a+b
7、+b+cc+a,b0,这与a,b,c是正数矛盾.故P,Q,R同时大于零.答案:C4.对于定义在实数集R上的函数f(x),如果存在实数x0,使f(x0)=x0,那么x0叫做函数f(x)的一个“好点”.已知函数f(x)=x2+2ax+1不存在“好点”,则a的取值范围是.解析:假设f(x)=x2+2ax+1存在“好点”,亦即方程f(x)=x有实数根,所以关于x的方程x2+(2a-1)x+1=0有实数根,则=(2a-1)2-4=4a2-4a-30,解得a-12或a32,故当f(x)不存在“好点”时,a的取值范围是-12a14,(1-b)c14,(1-c)a14,三式相乘,得(1-a)a(1-b)b(1
8、-c)c164.又(1-a)a1-a+a22=14,同理(1-b)b14,(1-c)c14.以上三式相乘得(1-a)a(1-b)b(1-c)c164,这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c164矛盾,故假设不成立,即结论得证.8.设an,bn是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列cn不是等比数列.分析:假设数列cn是等比数列,利用an,bn是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾,即知假设不成立.证明:假设数列cn是等比数列,则(an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1).an,bn是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,an2=an-1an+1,bn2=bn-1bn+1. 代入并整理,得2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbnpq+qp,即2=pq+qp.当p,q异号时,pq+qp2,与相矛盾.故数列cn不是等比数列.