1、高考资源网（） 您身边的高考专家高 二 数 学（第27周）主讲教师：徐 瑢【教学内容】球【教学目标】 1.弄清球面及球体的定义，弄清球的截面及其性质；2.弄清地球的经度与纬度的概念及球面的距离的概念并运用于解题之中；3.理解球的体积公式和表面积公式的推导思路，熟练用它们解决有关综合性问题； 4.能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题。【知识讲解】1“球”与“球面”的概念（见下表）半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫球面。球面所围成的几何体叫球（或球体）球面是一个曲面，只有面积，而球是一个封闭的几何体，有表面积，也有体积。球面也可以看作与定点（球心）的距离等于定
2、长（半径）的所有点的集合。2球的截面性质（见下表）（1） 用一个平面截球，截面是一个圆面。球面被过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不过球心的截面得的圆叫做小圆。（2） 球心和截面圆心的连线垂直于截面。（3） 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系：3球面的距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度称为两点的球面距离。球面上两点距离不能通过解三角形直接求得，一般地是先求出大圆半径R和这两点在大圆上的劣弧所对的圆心角，再求出弧长L=R4纬线是与赤道所在平面平行的截面圆，纬线上的度数叫做纬度，纬度是纬线上的点与球心联线和赤道所在平面所成的角的度数，即线面角的度数。地球上某
3、一点M的纬度是指线段OM（O是球心）与赤道平面所成的角的度数，若点M在北半球，就是北纬多少度；若点M在南半球，就是南纬多少度，纬度是线与面之间的角。经线是地球面上从北极到南极的半个大圆，经线上的度数叫做经度，经度的概念与二面角的度数有关。经度差是经线与地轴所确定平面的两个半平面的二面角大小，即二面角。地球上某一点M的经度是由经过地轴与本初子午线确定的半平面线地轴旋转到点M所形成的二面角的度数，若旋转是向东进行的，则点M的经度就是东经多少度，若旋转是向西进行的，则点M的经度就是西经多少度，经度是面与面之间所成的角。5球面面积公式S = 4R2（球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图
4、求出，需要用求极限的方法来推导球面面积公式）；球的体积公式：。6在解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题时，把球的问题转化为圆的问题，是重要方法。例题讲解例1.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ）（A） （B） （C） （D）解：如图，设球O半径为R，截面O半径为r，则，ABC是正三角形。 在RtOOA中，OA2=(OO)2+(OA)2 即 S球面=4 选A评述：画出直观示意图有利于分析有关元素间的关系，本题将空间图形的计算转化为平面图形中求正三角形外接圆半径及勾股定理的运用，球的截面问题是球与球冠中最
5、常见的问题，要熟练掌握它们的有关计算。例2.A、B两地都在北纬45的球面上，它们的经度相差90，求A、B两地的球面距离（地球半径为R）解：如图，O为球心，O为北纬45纬圆圆心， 则由球的截面性质可知，AO1B就是二面角AO1OB的平面角，即AO1B=90，AOO1与BOO1都等于纬度45的余角 在RtAO1B中，可得AB=AO1=R,故在AOB中可得AOB=, 所以AB两地间的球面距离为R例3过球面上一点M作互相垂直的三条弦MA，MB，MC；设球的半径为R，求证：MA2+MB2+MC2=4R2分析：由于MA、MB、MC互相垂直，作图时可考虑经过其中两条（如MB、MC）的球的截面，BC是截面圆的
6、直径，MA与该截面垂直。证明：如图，设球半径为R，连结BC，过MB和MC的球的截面为小圆H，由MBMC，有BC为圆H的直径，连结MH，并延长与球面交于点N，连结AN，设AN的中点为O，连OH，则OHAM AMMB， AMMC， AM面MBC， AMMNOH面MBC，O为球心，AN为球的直径 MA2+MB2+MC2=MA2+MN2=AN2=(2R)2=4R2评注：本题还可以看成是球的内接长方体的从一个顶点出发的三条棱与对角线长度之间的关系，用长方体的知识来处理比较简单。例4过半径为R的球面上一点P作三条两两互相垂直的弦PA，PB，PC，求三棱锥P-ABC体积的最大值解 如图10-19，设O为球心
7、，PAPB， APB=90PA，PB确定的小圆圆心为O1，则AB为其直径设PO1交O1于D，则PADB为矩形又PCPA，PCPB，PC面PADB又OO1面PABD，PC与OO1共面P，C，D在大圆面上CPD=90，OCDCD=2R根据球的对称性，CD可视为以矩形PADB为底面、PC为高的球的内接长方体的对角线设PA=x，PB=y，PC=z，则例5求棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径解：设ABCD为棱长等于a的正四面体，A、B在对面的射影分别为H1、H2，AH1与BH2的交点为O，则O既是正四面体的外接球球心，又是内切球的球心，OA、OH1分别为所求的外接球和内切球的半径。如图 O、H1、
8、E、H2四点共圆 AOAH1=AH2AE ， 又AOH2AEH1得 故正四面体的外接球半径为，内切球半径为例6半径是R的球，它的内接圆柱的侧面积等于球大圆面积的一半，求这圆柱的体积解： 如图，已知球半径为R，设圆柱底面直径为x，高为h，轴截面为矩形ABCD在RtABC中，AC=2R， AB=h，BC=x，则x2+h2=4R22xh=R2若以h为底面直径，x为高，则【一周一练】1下列说法错误的是（ ） A到定点的距离等于定长的点的集合是球面 B以圆的直径为轴，旋转半周所成的曲面叫球面 C过球面上的两个不同点，只能作一个大圆 D两点间的球面距离是大圆的一段劣弧长2球面上有3点A、B、C，若AB=3
9、，AC=4，BC=5，球心到平面ABC的距离的距离为6，则该球的半径为（ ） A B C D以上均不对3半径为5的球被一平面所截，若截面圆的面积为16，则球心到截面的距离为（ ） A4 B3 C2.5 D24两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9、16，则这两平行平面间的距离是（ ） A1 B7 C3或4 D1或75半径为1的球面上有三点A、B、C，若它们的球面距离均为，则三棱锥O-ABC的表面积是（ ） A B C D66若两球表面积之比为1:2，则其半径之比是（ ） A1:2 B1:4 C1: D1:27一个球的内接正方体的表面积是54，则球的表面积是（ ） A27 B18 C9 D
10、548一通信卫星转播电视要使地球表面的能收到电视信号，（地球半径为R），则通信卫星离地面的高为（ ） AR BR C2R D3R二、填空题10半径为10cm的球内，有一个截面距球心6cm，则该截面的面积等于_11地球半径为R，45纬圆上有甲、乙两地，它们的球面距离是R，那么甲、乙两地纬圆上的劣弧长等于_.12球的半径为10cm，经过球面上一点作一截面，若截面与经过该点的半径成45角，则截面圆的面积是_13与正方体各面相切的球，它的面积与正方体表面积之比为_.三、解答题14在北纬45圈上有A、B两地，它们分别在东经50与140的经线上，设地球半么为R（1）求A、B两地之间的纬度线（劣弧）的长 （2）求A、B两地之间的球面距离【一周一练答案】 1C 2A 3B 4D 5B 6C 7A 8A 1064cm2 11R 1250cm2， 13:6 14.（1）R （2）R- 6 - 版权所有高考资源网