1、2 直线和圆锥曲线的参数方程2.1 直线的参数方程 课后篇巩固探究A 组1.曲线 -(t 为参数)与坐标轴的交点是()A.()()B.()()C.(0,-4),(8,0)D.(),(8,0)答案:B2.过点(1,1),倾斜角为 135的直线截圆 x2+y2=4 所得的弦长为()A.B.C.2 D.解析:直线的参数方程为 -(t 为参数),代入圆的方程得 t2+2=4,解得 t1=-,t2=,故所求弦长为|t1-t2|=|-|=2.答案:C3.直线 2x-y+1=0 的参数方程为()A.(t 为参数)B.(t 为参数)C.(t 为参数)D.(t 为参数)解析:根据直线的普通方程可知斜率是 2,设
2、直线的倾斜角为,则 tan=2,sin=,cos=,所以直线的参数方程是 (t 为参数).答案:A4.已知 P1,P2是直线 -(t 为参数)上的两点,它们所对应的参数分别为 t1,t2,则线段 P1P2的中点到点 P(1,-2)的距离是()A.B.C.-D.-解析:由 t 的几何意义可知,P1P2的中点对应的参数为 ,点 P 对应的参数为 t=0,故 P1P2的中点到点 P 的距离为 .答案:B5.直线 -(t 为参数)过定点 .解析:由 -(t 为参数)得-(y+1)a+(4x-12)=0.若-(y+1)a+(4x-12)=0 对于任意 a 都成立,则 x=3,y=-1.答案:(3,-1)
3、6.直线 l:-(t 为参数)上的点 P(-4,1-)到直线 l 与 x 轴交点间的距离是 .解析:在直线 l:-(t 为参数)中,令 y=0,得 t=-1.故直线 l 与 x 轴的交点为 Q(-1-,0).故|PQ|=-=-=2-2.答案:2-27.直线过点 A(1,3),且与向量(2,-4)共线.(1)写出该直线的参数方程;(2)求点 P(-2,-1)到此直线的距离.解(1)由题意知直线的点斜式方程为 y-3=-(x-1).设 y-3=-(x-1)=t,则 -(t 为参数).所以该直线的参数方程为 -(t 为参数).(2)(方法一)如图所示,在直线上任取一点 M(x,y),则|PM|2=(
4、x+2)2+(y+1)2=(-)+(3+t+1)2=t2+5t+25=(t+2)2+20.当 t=-2 时,|PM|2取最小值,此时|PM|等于点 P 与直线的距离,则|PM|=2.(方法二)由点 P 向直线作垂线,垂足记为 P0,如上图所示,它对应参数 t=-2,代入直线的参数方程,可得点 P0的坐标为 P0(2,1),显然有|PP0|=2.8.已知两点 A(2,1),B(-1,2)和直线 l:x+2y-5=0.求过点 A,B 的直线的参数方程,并求它与直线 l 的交点的坐标.解设直线 AB 上动点 P(x,y),选取参数=,则直线 AB 的参数方程为 -(为参数).把代入 x+2y-5=0
5、 得=-.把=-代入得 即交点坐标为(5,0).9.导学号 73144026 已知直线 -(t 为参数)与抛物线 y2=4x 交于两个不同的点 P,Q,且 A(2,4).(1)求 AP+AQ 的值;(2)求 PQ 的长.解已知直线的斜率为-1,故直线的倾斜角为 135,故 -(t为参数),代入 y2=4x,得 t2+12 t+16=0,故有 t1+t2=-12,t1t2=16.(1)AP+AQ=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12.(2)PQ=|t1-t2|=-=4 .B 组1.已知直线 -(t 为参数)与椭圆 x2+2y2=8 交于 A,B 两点,则|AB|等于()A.2 B.C.2D.
6、解析:把直线的参数方程代入 x2+2y2=8,得 3t2-6t+1=0,解得 t1=1+,t2=1-,得 A(-),B(-).故|AB|=.答案:B2.直线 -(t 为参数)上与点 P(-2,3)之间的距离等于 的点的坐标是()A.(-4,5)B.(-3,4)C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)解析:设点 Q 与点 P 之间的距离等于,Q(x0,y0),则 -(t 为参数).由|PQ|=,得(-2-t+2)2+(3+t-3)2=2,即 t2=,得 t=.当 t=时,Q(-3,4);当 t=-时,Q(-1,2).答案:C3.设直线的参数方程为 -(t 为参数),点 P 在直
7、线上,且与点 M0(-4,0)之间的距离为,若该直线的参数方程改写成 -(t为参数),则点 P 对应的 t值为 .解析:由|PM0|=知 t=,代入第一个参数方程,得点 P 的坐标分别为(-3,1)或(-5,-1),再把点 P 的坐标代入第二个参数方程可得 t=1 或 t=-1.答案:14.导学号 73144027 一条直线的参数方程是 -(t 为参数),另一条直线的方程是 x-y-2=0,则这两条直线的交点与点(1,-5)之间的距离是 .解析:把参数方程代入 x-y-2=0,得 1+t+5-t-2=0,解得 t=4.故两条直线的交点为(1+2,1),则交点与点(1,-5)之间的距离为d=-=
8、4.答案:4 5.已知直线 l:-(t 为参数).(1)分别求 t=0,2,-2 时对应的点 M(x,y);(2)求直线 l 的倾斜角.解(1)由直线 l:-(t 为参数)知,当 t=0,2,-2 时,分别对应直线 l 上的点(-,2),(0,3),(-2,1).(2)(方法一)化直线 l:-(t 为参数)为普通方程为 y-2=(x+),其中 k=tan=,0.故直线 l 的倾斜角=.(方法二)由于直线 l:-(t 为参数),这是过点 M0(-,2),且倾斜角=的直线,故 为所求.6.过点 P()作倾斜角为 的直线与曲线 x2+2y2=1 交于点 A,B,求|PA|PB|的最小值及相应的 值.解直线过点(),倾斜角为,直线的参数方程为 (t 为参数).将其代入 x2+2y2=1 中,得()+2(tsin)2=1,整理,得(1+sin2)t2+(cos)t+=0,t1+t2=-,t1t2=,|PA|PB|=|t1t2|=|.又=(cos)2-4(1+sin2)0,10cos2-6-6sin20.10(1-sin2)-6-6sin20.sin2 .0,),当且仅当 sin2=,即 sin=,即=或 时,|PA|PB|最小,其最小值为 (),|PA|PB|min=.