1、3.4生活中的优化问题举例课时过关能力提升一、基础巩固1.做一个容积为256 m3的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为()A.6 mB.8 mC.4 mD.2 m解析:设底面边长为x m,高为h m,则有x2h=256,所以h=256x2.所用材料的面积设为S m2,则有S=4xh+x2=4x256x2+x2=2564x+x2.S=2x-2564x2,令S=0,得x=8,因此h=25664=4(m).答案:C2.某产品的销售收入y1(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数,y1=17x2;生产总成本y2(单位:万元)也是x(单位:千台)的函数,y2=2x3-x2(x0),为使利润最大,应
2、生产()A.9千台B.8千台C.6千台D.3千台解析:利润函数y=y1-y2=18x2-2x3(x0),求导得y=36x-6x2.令y=0,得x=6或x=0(舍去).答案:C3.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成一个铁盒.所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为()A.6 cmB.8 cmC.10 cmD.12 cm解析:设截去小正方形的边长为x cm(0x0),L=2-512x2.令L=0,得x=16或x=-16(舍去).L在(0,+)上只有一个极值点,它必是最小值点.x=16,512x=32.故当堆料场
3、的宽为16 m,长为32 m时,可使砌墙所用的材料最省.答案:B5.内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为()A.233RB.33RC.332RD.32R解析:作轴截面如图,设圆柱的高为2h,则底面半径为R2-h2,圆柱体体积为V=(R2-h2)2h=2R2h-2h3.所以V=2R2-6h2.令V=0,得2R2-6h2=0,故h=33R,即当2h=233R时,圆柱体的体积最大.答案:A6.已知轮船甲位于轮船乙的正东方向且距轮船乙75海里处,以每小时12海里的速度向西行驶,而轮船乙则以每小时6海里的速度向北行驶.如果两船同时起航,那么经过小时两船相距最近.解析:设经过x小时两船相距y海里,y
4、2=36x2+(75-12x)2,令(y2)=72x-24(75-12x)=0,解得x=5.易知当x=5时,y2取得最小值.答案:57.已知甲、乙两地相距240 km,汽车从甲地以速度v(单位:km/h)匀速行驶到乙地.汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成,固定成本为160元,可变成本为16 400v3元.为使全程运输成本最小,汽车应以_的速度行驶.解析:设全程运输成本为y元,由题意,得y=240v160+16 400v3=240160v+16 400v2,v0,y=240-160v2+26 400v.令y=0,得v=80.当v80时,y0;当0v80时,y0;当t(8,9)时,y0,
5、函数S为增函数;当y23,2时,S0,函数S为减函数.因此当y=23时,S有最大值,得|PQ|=2+y=2+23=83,|PN|=4-y2=4-232=329.故游乐园最大面积为Smax=83329=25627(km2),即游乐园的两条邻边分别为83 km,329 km时,面积最大,最大面积为25627 km2.二、能力提升1.某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x)=-x3900+400x,0x390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是()A.150B.200C.250D.300解析:由题意可
6、得总利润P(x)=-x3900+300x-20 000,0x390.由P(x)=0,得x=300.当0x0;当300x390时,P(x)0,故当x=300时,P(x)最大.答案:D2.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元,销售量为Q件,且销售量Q与零售价P有如下关系:Q=8 300-170P-P2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)()A.30元B.60元C.28 000元D.23 000元解析:毛利润为(P-20)Q,即f(P)=(P-20)(8 300-170P-P2),f(P)=-3P2-300P+11 700=-3(P+130)(P-30).
7、令f(P)=0,得P=30或P=-130(舍去).又P20,+),故f(P)max=f(P)极大值,故当P=30时,毛利润最大,且f(P)max=f(30)=23 000(元).答案:D3.若一个球的半径为r,则内接于球的圆柱的侧面积最大为()A.2r2B.r2C.4r2D.12r2解析:如图,设内接圆柱的底面半径为R,母线长为l,则R=rcos ,l=2rsin ,02.于是S侧=2Rl=2rcos 2rsin =4r2sin cos .由S侧=4r2(cos2-sin2)=0,得=4.故当=4,即R=22r时,S侧最大,且S侧的最大值为2r2.答案:A4. 一个帐篷下部的形状是高为1 m的
8、正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为m时,帐篷的体积最大.解析:设OO1为x m,底面正六边形的面积为S m2,帐篷的体积为V m3.由题设可得正六棱锥底面边长为32-(x-1)2=8+2x-x2(m),于是底面正六边形的面积为S=634(8+2x-x2)2=332(8+2x-x2).帐篷的体积为V=13332(8+2x-x2)(x-1)+332(8+2x-x2)=32(8+2x-x2)(x-1)+3=32(16+12x-x3),所以V=32(12-3x2).令V=0,解得x=2或x=-2(不合题意,舍去).当1x0;当2x4时,V0
9、,f(x)是增函数;当x23,2时,f(x)0,f(x)是减函数,故当x=23时,f(x)取最大值439.答案:4396.某分公司经销某种品牌的产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9x11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.(1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数解析式;(2)讨论分公司一年的利润L的最大值Q(a).解:(1)分公司一年的利润L与每件产品的售价x的函数解析式为L=(x-3-a)(12-x)2,x9,11.(2)L(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18
10、+2a-3x).令L(x)=0,得x=6+23a或x=12(舍去).因为3a5,所以86+23a283.在x=6+23a两侧L(x)的值由正变负.当86+23a9,即3a92时,Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).当96+23a283,即92a5时,Lmax=L6+23a=6+23a-3-a12-6+23a2=43-13a3.故Q(a)=9(6-a),3a92,43-13a3,92a5.7.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+
11、x)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数解析式;(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?解:(1)设需新建n个桥墩,则(n+1)x=m,即n=mx-1.故y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256mx-1+mx(2+x)x=256mx+mx+2m-256.(2)由(1)知,f(x)=-256mx2+12mx-12=m2x2(x32-512).令f(x)=0,得x32=512,即x=64.当0x64时,f(x)0,f(x)在区间(0,64)内为减函数;当64x0,f(x)在区间(64,640)内为增函数,故f(x)在x=64处取得最小值.此时n=mx-1=64064-1=9.故需新建9个桥墩才能使y最小.
