1、2.2.1 双曲线及其标准方程课时过关能力提升一、基础巩固1.若双曲线 E 的左、右焦点分别为 点 在双曲线 上 且 则 等于 A.11B.9C.5D.3解析:由题意知 a=3,b=4,c=5.由双曲线定义,可知|PF1|-|PF2|=|3-|PF2|=2a=6,故|PF2|=9.答案:B2.已知点 F1(-5,0),F2(5,0),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=2a,则当 a=3 和 a=5 时,点 P 的轨迹分别为()A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线解析:|F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=2a,当 a=3 时,2
2、a=6|F1F2|,此时轨迹为双曲线的一支;当 a=5 时,2a=10=|F1F2|,此时轨迹为一条射线.答案:D3.若双曲线方程为 x2-2y2=2,则它的左焦点坐标为()A(-)(-)(-)解析:双曲线标准方程为 c2=2+1=3.左焦点坐标为(答案:D4.若椭圆 与双曲线 有相同的焦点 则 的值是 A.1B.1C.-1D.不存在答案:A5.已知 F1,F2为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cosF1PF2等于()A 解析:因为双曲线的方程为 所以 a=b 因为|PF1|=2|PF2|,所以点 P 在双曲线的右支上.所以|PF1|
3、-|PF2|=2a=解得|PF2|=所以根据余弦定理得cosF1PF2 -答案:C6.已知ABP 的顶点 A,B 分别为双曲线C 的左、右焦点 顶点 在双曲线 上 则 -的值等于 A 解析:设|PB|=m,|PA|=n,由正弦定理得 -答案:D7.以椭圆 的 点为焦点 且 点 的双曲线的标 方程为 解析:由题意,得双曲线的焦点在 x 轴上,且 c=设双曲线的标准方程为 -解得 故所求双曲线的标准方程为 答案:8.设 P 为双曲线 x2 上的一点 是该双曲线的 焦点 若 则PF1F2的面积为 .解析:|PF1|-|PF2|=2a=2,且|PF1|PF2|=32,|PF1|=6,|PF2|=4.又
4、|F1F2|=2c=|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,|PF2|答案:129.根据下列条件,求双曲线的标 方程:(1)点()(-)(2)c 点 焦点在 上 解:(1)设双曲线方程为 mx2+ny2=1(mn0,n0,在 RtPF1F2中,m2+n2=(2c)2=20,mn=2,由双曲线定义,知|m-n|2=m2+n2-2mn=16=4a2.a2=4,b2=c2-a2=1.双曲线的标准方程为 答案:D3.已知 F1,F2为双曲线 C:x2-y2=1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,F1PF2=60,则点 P 到 x 的距离为()A 解析:设|PF1|=m,|PF2|=n.由方程知 c
5、 在F1PF2中,由余弦定理得 4c2=m2+n2-mn.|m-n|=2,8=(m-n)2+mn=4+mn,mn=4.设点 P 到 x 轴的距离为 h,h 60,h 答案:B4.已知点 F1,F2分别是双曲线 的左、右焦点 是该双曲线上的一点 且 则PF1F2的周 是 .解析:|PF1|=2|PF2|=16,|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a.a=4.又 b2=9,c2=25.2c=10.PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.答案:345.已知动圆 M 定点 B(-4,0),且和定圆(x-4)2+y2=16 相切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为 .
6、解析:设动圆 M 的半径为 r,依题意有|MB|=r,另设 A(4,0),有|MA|=r4,即|MA|-|MB|=4.亦即动圆圆心 M 到两定点 A,B 的距离之差的绝对值等于常数 4,又 4|AB|,因此动点 M 的轨迹为双曲线,且 c=4,2a=4,所以 a=2,a2=4,b2=c2-a2=12,故轨迹方程是 答案:6.已知 F 是双曲线 的左焦点 是双曲线右支上的动点 则 的最小值为 解析:如图,已知 F(-4,0),设 F为双曲线的右焦点,F(4,0),点 A(1,4)在双曲线的两支之间.由双曲线的定义,得|PF|-|PF|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF|+|PA|4+
7、|AF|=4+5=9,当且仅当 A,P,F三点共线时,取等号.答案:97.已知双曲线 的 焦点分别为 若点 M 在双曲线上,且 求点 到 的距离 解:不妨设点 M 在双曲线的右支上,点 M 到 x 轴的距离为 h MF1MF2.设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线定义知,m-n=2a=8.又 m2+n2=(2c)2=80,由得 mn=8,由 h,得 h 8.已知双曲线的方程为 x2 如图 点 的坐标为()点 是圆 ()上的点 点 在双曲线的右支上 求 的最小值 解:设点 D 的坐标为 点A,D 是双曲线的焦点.由双曲线的定义,得|MA|-|MD|=2a=2.所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|2+|BD|.又点 B 是圆 x2+(y 上的点,圆的圆心为 C(0 半径为1,所以|BD|CD|-1 从而|MA|+|MB|2+|BD|当点 M,B 在线段 CD 上时取等号,即|MA|+|MB|的最小值为