1、第八节 曲线与方程（含轨迹问题）第八节 曲线与方程（含轨迹问题）考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1曲线与方程如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程_的解，且以方程f(x，y)0的解为坐标的点_，那么，方程f(x，y)0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)0的曲线f(x，y)0都在曲线C上2求曲线方程的一般步骤_建立适当的坐标系_设曲线上任一点M的坐标为(x，y)_列出符合条件P(M)的方程f(x，y)0_化简f(x，y)0的最简形式_证明化简后的以方程的解为坐标的点都在曲线上建系设点列式化简证明3求轨迹方程常用的方法(1)_；(2)_
2、；(3)_；(4)_等4直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点，具体如下：直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决直接法定义法相关点代入法含参法直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于圆或椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示直线与其_或直线与其对称轴_.直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的_.注意：直线与圆锥曲线有一个公共点不一定是相切相切平行弦思考感悟直线与圆锥曲线相交时，什么
3、情况下只有一个交点？提示：双曲线中，直线与双曲线的渐近线平行时，只与双曲线有一个交点；抛物线中，直线与抛物线的对称轴平行时，只与抛物线有一个交点(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入圆锥曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断直线l方程为AxByC0.圆锥曲线方程为f(x，y)0.如消去y后得ax2bxc0.若f(x，y)0表示椭圆，上述方程中a0，为此有：由AxByC0fx，y0消元 x 或 y，若a0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)若a0，设b24ac.a0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；
4、b.0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c.0)：AB_.如x2a2y2b21(ab0)：2ae(x1x2)2ae(x1x2)x1x2p6中点弦问题设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆x2a2y2b21(ab0)上不同的两点，且 x1x2，x1x20，M(x0，y0)为 AB 的中点，则x21a2y21b21，x22a2y22b21.两式相减可得：y1y2x1x2y1y2x1x2b2a2，即_.这是一个有用的关系式类似的可得圆锥曲线为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)时，有_；圆锥曲线为抛物线 y22px(p0)时，有 kAB_.kABy0 x0b2a2kABy0 x0b2a2py01
5、(2011年南通调研)已知抛物线y22px(p0)与双曲线1(a0，b0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AFx轴，若l为双曲线的一条渐近线，求l的倾斜角的取值范围课前热身 x2a2y2b2解：如图所示，由点 A 为抛物线上的点可设点 A 的坐标为(p2，p)，又由点 A 为两曲线的交点知p2c，即p2c，知点 A 坐标为(c,2c)，2cb2a，即得 2cc2a2a，解得 c(1 2)a，得 a2b2(32 2)a2，则双曲线的一条渐近线的斜率 kba 22 2 3，即可得 l 的倾斜角所在的区间是(3，2)2已知定点 F(1,0)和定直线 x1，M、N 是定直线x1 上的两个动点
6、且满足FM FN，动点 P满足MPOF，NO OP(其中 O 为坐标原点)求动点 P 的轨迹 C 的方程解：设 P(x，y)，M(1，y1)，N(1，y2)，(y1，y2 均不为0)，由MP OF，得 y1y，即 M(1，y)，由NO OP，得 y2yx，即 N(1，yx)，由FN FM，得FM FN 0，即(2，y1)(2，y2)0，y24x(x0)即动点 P 的轨迹 C 的方程为 y24x(x0)3已知动抛物线的准线为x轴，且经过点(0,2)求抛物线顶点的轨迹方程解：设抛物线的顶点坐标为(x，y)，则焦点坐标为(x,2y)，由题意得 x2(2y2)24，即顶点的轨迹方程为x24(y1)21
7、.考点探究挑战高考 直线与圆锥曲线的位置关系考点突破 在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形 直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时l与C(1)相切；(2)相交；(3)相离【思路分析】联立直线与抛物线方程判断例1【解】将 l 和 C 的方程联立ykx1，y24x，将代入，并整理，得 k2x22(k2)x10.当 k0 时，x14，y1，得交点 A(14，1
8、)，l 与 C 相交；当k0时，方程为一元二次方程，16(1k)，当0，即k1时，l与C相切；当0，即k1且k0时，l与C相交；当1时，l与C相离综上，k1时，l与C相切；k1时，l与C相离【名师点评】(1)直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要不充分条件(2)由于抛物线及双曲线问题的特殊性，有时借助于数形结合可能会更直观、更方便，对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切变式训练1 已知直线l：kxy20，双曲线C：x24y24，当k为何值时：(1)l与C无公共点；(2)l与C
9、有惟一公共点；(3)l与C有两个不同的公共点解：将直线与双曲线方程联立消去y，得(14k2)x216kx200.当14k20时，有(16k)24(14k2)(20)16(54k2)(1)当 14k20 且 0 时，即 k 52 时，l 与C 无公共点(2)当 14k20，即 k12时，显然方程只有一解当 0 时，即 k 52 时，方程只有一解故当 k12或 k 52 时，l 与 C 有惟一公共点(3)当 14k20 时，且 0，即 52 k 52 时，方程有两个不同的解，直线与双曲线有两个交点，k 的范围为(52，12)(12，12)(12，52)综上可知，当 k 52 时，l 与 C 无公共
10、点；k12或 k 52 时，l 与 C 有惟一公共点；当 k(52，12)(12，12)(12，52)时，l 与 C 有两个不同的公共点直线与圆锥曲线相交产生弦，弦长利用公式求得或直接求得弦两端点坐标，再计算弦长，弦中点问题采用点差法解决更容易弦长及中点弦问题如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0，c)任作一直线，与抛物线yx2相交于A，B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：yc交于P，Q两点(1)若2，求c的值；(2)若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线例2OA OB【思路分析】直线方程与抛物线方程联立利用根与系数关系解答【解】(1)设过C点的直
11、线为ykxc.方程代入yx2得x2kxc0.令A(a，a2)，B(b，b2)，则abc.因为aba2b2cc22.解得c2，或c1(舍去)故c2.OA OB【名师点评】关于弦中点的问题，采用点差法解题更容易，用点差法将弦中点与斜率联系起来(2)证明：由题意知 Q(ab2，c)，直线 AQ 的斜率为 kAQ a2caab2a2abab22a.又 yx2 的导数为 y2x，所以点 A 处切线的斜率为 2a.因此，AQ 为该抛物线的切线求轨迹的方法很多，但中学阶段较常用的如下几种需掌握定义法：从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程直接法：将几何条件翻译成代数式子
12、相关点代入法：一般有两个动点，将其中一个点用另一点坐标表示，进而得到轨迹方程轨迹问题 例3 设点F(2,0)，动点P到y轴的距离为d，求满足条件PFd2的点P的轨迹方程【思路分析】【解】法一：设P点坐标为(x，y)，由|PF|2d，得2|x|，即(x2)2y2(2|x|)2.y24|x|4x.当x0时，y28x；当x0时，y20，即y0.故所求P点的轨迹方程为y28x(x0)和y0(x0)x22y2法二：由题意|PF|2d，当P在y轴右侧时，可转化为|PF|x2，即点P到定点F的距离等于到定直线l：x2的距离，点P在抛物线y28x上当P在y轴左侧时，|PF|2x，即点P到F(2,0)的距离等于
13、P到直线x2的距离，从而有y0(x0)，综上可知，所求P点的轨迹方程为y28x(x0)和y0(x0)【名师点评】(1)本题可采用两种方法，直接法和定义法求解(2)求轨迹方程最后一定要有检验，将不符合要求的点舍去，漏下的点添上变式训练2 一动圆与圆x2y26x50外切，同时过点(3,0)求动圆圆心M的轨迹方程即 a1，c3，b2 2，因此动圆圆心的轨迹方程为 x2y28 1(x1)解：x2y26x50配方得：(x3)2y24.设圆心为A，则A点坐标为(3,0)，(3,0)为点B，动圆半径为R，则由此得：MBR，MAR2.因此：MAMB2AB6.故M点轨迹为双曲线的右支，且2a2,2c6.方法技巧
14、方法感悟 1在给定的圆锥曲线 f(x，y)0 中，求中点为(m，n)的弦 AB 所在直线方程时，一般可设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，利用 A、B 在曲线上，得 f(x1，y1)0，f(x2，y2)0，及 x1x22m，y1y22n，故可求出斜率 kABy1y2x1x2，最后由点斜式写出直线 AB的方程3对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值，常见的最值模型有均值不等式，二次函数，导数等模型2斜率为 k 的直线被圆锥曲线截得弦 AB，若
15、AB两点的坐标分别为 A(x1，y1)、B(x2，y2)则 ABx1x2 1k2y1y2 1 1k2(k0)，利用这个公式求弦长时，应注意应用根与系数的关系4有关直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，一般是先假设存在满足题意的元素，经过推理论证，如果得到可以成立的结果，就可作出存在的结论；若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的量，则说明假设不存在求范围问题一般可考虑以下几个方面：与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；通过判别式 0；利用点在曲线内部形成的不等关系；利用解析式自身的结构特点，如 a2，a，a 等非负性5圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法是利用圆锥曲
16、线上的两点所在直线与已知直线垂直，且圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用判别式或中点与曲线的位置关系式来求解失误防范1圆锥曲线综合问题中使用公式较多，公式易记错，运算繁琐，化简易出错，在解答时，要一步步化简，不要跳步答题2忽视判别式条件的限制，在求某些范围问题中，使结果出错3应用题目条件不全，有些题目的条件用不上就得出了结果，显然结果是错误的4求轨迹方程一定要注意纯粹性和完备性考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的江苏高考试题来看，直线与圆的位置关系、弦长、圆与圆的位置关系等是高考的热点，三种题型都有可能出现，难度属中等偏高；客观题主要考查直线与圆的位置关系，弦长等问题；主观题考查较为
17、全面，除考查直线与圆的位置关系、弦长等问题外，还考查基本运算、等价转化、数形结合思想等预测2012年江苏高考仍将以直线与圆的位置关系为主要考点，考查运算能力和逻辑推理能力真题透析 例(本题满分 14 分)在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2.F2 也是抛物线 C2：y24x 的焦点，点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点，且|MF2|53.(1)求 C1 的方程；(2)平面上的点 N 满足MN MF1 MF2，直线 lMN，且与 C1 交于 A、B 两点，若OA OB 0，求直线 l 的方程【思路分析】(1)中涉及到|MF2|的
18、值，可考虑利用焦半径的性质(2)中正确利用条件“MF1 MF2M N四边形MF1NF2 为平行四边形”注意结合根与系数的关系进行整体变换【解】(1)由 C2：y24x 知 F2(1,0)设 M(x1，y1)，M 在 C2 上，因为|MF2|53，所以 x1153，得 x123，y12 63.3 分M 在 C1 上，且椭圆 C1 的半焦距 c1，于是 49a2 83b21，b2a21，消去 b2 并整理得 9a437a240.解得 a2a13不合题意，舍去.b23.故椭圆 C1 的方程为x24 y23 1.6 分(2)由MF1 MF2 MN 知四边形 MF1NF2 是平行四边形，其中心为坐标原点
19、 O，因为 lMN，所以 l 与OM 的斜率相同故 l 的斜率 k2 6323 6.8 分设 l 的方程为 y 6(xm)由3x24y212，y 6(x-m)，消去 y 并化简得 9x216mx8m240.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x216m9，x1x28m249.10 分因为OA OB，所以 x1x2y1y20，x1x2y1y2x1x26(x1m)(x2m)7x1x26m(x1x2)6m278m2496m16m9 6m219(14m228)0.所以 m 2.此时(16m)249(8m24)32m2144322144800，12 分故所求直线 l 的方程为y 6x2 3或
20、 y 6x2 3.14 分【名师点评】向量与圆锥曲线的结合主要是将几何中的长度、角度等数量关系用向量的模、夹角来表示，将几何中的垂直、平行等位置关系用向量的数乘、数量积来表示名师预测 1已知抛物线 y22px(p0)上一点 M(1，m)(m0)到其焦点的距离为 5，双曲线x2a y21 的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线 AM 平行，求实数 a的值解：由题意可知，抛物线 y22px(p0)的准线方程为 x4，所以 p8，则点 M(1,4)，双曲线x2a y21 的左顶点为 A(a，0)，所以直线 AM 的斜率为41 a，由题意得41 a 1a，解得 a19.2已知抛物线 y24x 的焦点为
21、 F，过 F 且垂直于 x 轴的直线交该抛物线于 A，B 两点若椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点与点 F 重合，右顶点与 A，B 构成等腰直角三角形，求椭圆 C 的离心率解：由已知条件可得点 F 的坐标为(1,0)，点 A，B 的坐标分别为(1,2)，(1，2)，又由椭圆x2a2y2b21 的焦点与 F 点重合，可得 c1，而右顶点与A，B 构成等腰直角三角形，可得 ac2，即得a3，eca13.3已知抛物线y24px(p0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OAOB，如果OMAB于M点，求点M的轨迹方程解：设 M(x，y)，直线 AB 方程为 ykxb.A(x1，y1)，B(x2，y2)由 OMAB 得 kxy.由 y24px 及 ykxb 消去 y，得k2x2x(2kb4p)b20，所以 x1x2b2k2.消去 x，得 ky24py4pb0，所以 y1y24pbk.由 OAOB，得 y1y2x1x2，所以4pbk b2k2，b4kp.故 ykxbk(x4p)把 kxy代入，得 x2y24px0(x0)即 M 的轨迹方程为 x2y24px0(x0)本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
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