1、2022 年“西南汇”联考 2023 届高三第一学期开学考理科数学总分:150 分单选题（5 分*12）1.设集合，则()A.B.C.D.2.设复数 满足，则()A.B.C.D.3.函数的零点共有()A.个B.个C.个D.个4.已知正方体中，分別为的中点，则()A.B.C.D.5.已知的内角的对边分别是,则“”是“是钝角三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数，下列说法正确的是()A.的最小正周期是B.的图象关于直线对称C.在区间上单调递增D.的图象可由的图象向左平移个单位得到7.已知均为单位向量，且满足，命题，命题，则下列命题恒为真命题的
2、是()A.B.C.D.8.函数的最小值为()A.B.C.D.9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集为()A.B.C.D.10.已知某校高三年级共人，按照顺序从 到编学号.为了如实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有 个黑球和 个白球的不透明盒子中随机取出 个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二.问题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级人全部参与调查，经统计：有人回答“否”，其余人回答“是”.则该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为()A.B.C.D.11.单位正四面体的外接球内接的
3、最大正三角形边长为()A.B.C.D.12.,则（）A.B.C.D.填空题（5 分*4）13.已知函数则_.14.函数的一条过原点的切线方程为_.15.设 是抛物线的焦点，点 在抛物线 上，若，则_.16.已知正实数满足,则的最小值为_.解答题部分 70 分17.（12 分）在三棱锥中，平面平面是的中点.(1)证明：；(2)若，求二面角的大小.18.（12分）已知的内角所对的边分别为.(1)求；(2)若，求.19.（12 分）记数列前 项和为.(1)证明：为等差数列；(2)若，记为数列的前 项积，证明：.20.（12 分）设椭圆，右焦点，短轴长为，直线与 轴的交点到右焦点的距离为.(1)求 的
4、方程；(2)点均在 上，且满足，若与 轴交点为，求满足条件的点的坐标.21.（12 分）设函数为常数).(1)讨论的单调性；(2)若函数有两个不相同的零点,证明:.选考题22.（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程是(为参数)，正方形的顶点均在 上，且依逆时针次序排列，点.(1)求 的普通方程及点的坐标；(2)设 为 上任意一点，求的最小值.23.（10 分）选修 4-5：不等式选讲已知为正实数，.(1)求证：；(2)求证：.答案1.B【解析】由题意，得.2.C【解析】由题意，得.则.3.C【解析】当时无解；当时，有解综上，函数有 个零点.4.D【解析】
5、建立如图坐标系，不妨设正方体的棱长为.则.故.5.A【解析】,即 为钝角,故充分,而若钝角三角形中为钝角,则 为锐角,即有,故不必要.6.D【解析】，故 选项错误；令，此时对应的 不为整数，直线不为其对称轴，故 选项错误；上，函数单调递减，故 选项错误；将的图象向左移个单位得.故 D 选项正确.7.B【解析】条件说明的夹角和的夹角相等，作图知命题必有一个为真命题，故恒为真命题的是.8.D【解析】.9.D【解析】由题意，得.则单调递增.又当时，；当时，.时，的解集为.又为奇函数，为偶函数，的解集为.10.B【解析】理想情况下，人分为(人)和(人)，人中将有人回答“否”，则人中有(人)回答“否”，
6、人回答“是”，则问是否带手机的回答是人数约占，该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数约为(人).11.C【解析】如图为单位正四面体.过点 作面的垂线交面于点为外接球球心，则 为的中心，.不妨设.在中，由勾股定理，得.解得.最大正三角形得边长为.12.A【解析】构造,则,故.由切线不等式,即.故.13.【解析】原式.14.【解析】由题意，得的切线方程为当时，此直线过原点，故函数过原点的一条切线方程为.15.【解析】由题意，得.点 到抛物线准线的距离为.抛物线的准线方程为，或，.16.【解析】原式令则在正负性上等价,故此函数在上单调递减,上单调递增.将代入,得原式.17.（2）【解析】(1)证明
7、：由题意，得面.又，面.(2)建立如图坐标系：由题意,得.设面的一个法向量,则由设.同理求得面的一个法向量.则.则二面角的大小为.18.（1）（2）【解析】(1)由题意，得.，.(2)将代入(1)中两式，得.当时，解得；当时，解得.又，.，.综上，.19.证明：(1)由题意，得.则.两式相减，得，即，是等差数列.(2)，20.(1).(2)或或.【解析】(1)由题意，得.即椭圆 的方程为.(2)当轴时，此时点 不存在；当不平行 轴时，不妨设.联立直线和椭圆 C 的方程，得.则.由韦达定理，得.设的中点为，则.结合直线和，得.，即.若，则，将代入，解得.经验证：符合，此时点 的坐标为；若，即，解得.经验证：符合，此时点 的坐标为或.综上所述，符合条件的点 的坐标有或或.21.(1)由题意，得.又，在上，在上，在上单调递减，上单调递增.(2)由(1)的结论不妨有.又均，只需证.构造函数.则，当时，等号成立，不能取到，故，说明恒成立，结论得证.22.(1)曲线 的普通方程为；.(2).【解析】(1)曲线 的普通方程为；.(2)设.原式.当时取等号，其最小值为.23.证明：(1)由三元柯西不等式，得原式.当时，取等号.(2)由平均不等式，得整理，得.当时，取等号.
