1、【知识重温】一、必记 6 个知识点1等比数列及其相关概念等比数列 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的_的比都等于_公比等比数列定义中的_叫做等比数列的公比，常用字母 q(q0)表示公式表示 an为等比数列 _(nN*，q 为非零常数)等比中项 如果 a，G，b 成等比数列，则 G 叫做 a，b 的等比中项，此时_前一项同一个常数常数an1an qG2ab2.等比数列的通项公式若等比数列an的首项是 a1，公比是 q，则其通项公式为_(nN*)3等比数列的前 n 项和公式(1)当公比 q1 时，Sn_.(2)当公比 q1 时，Sn_.ana1qn1na1a11qn1qa1anq1q
2、4项的性质(1)anamqnm.(2)amkamka2m(mk，m，kN*)(3)若 mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则 aman_a2k.(4)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，|an|，1an，a2n，anbn，anbn(0)仍然是等比数列(5)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，则 an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为 qk.apaq5和的性质(1)SmnSnqnSm.(2)若等比数列an共 2k(kN*)项，则S偶S奇q.(3)公比不为1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2nSn，_仍成等比数列，其公比为 qn，
3、当公比为1 时，Sn，S2nSn，_不一定构成等比数列S3nS2nS3nS2n6等比数列an的单调性(1)满足a10，q1或a10，0q0，0q1或a11时，an是_数列(3)当a10，q1时，an为_数列(4)当 q0，q2，由 S4a11241215，解得 a11.a3a1q24，故选 C.答案：C22019全国卷记 Sn 为等比数列an的前 n 项和若 a113，a24a6，则 S5_.解析：通解 设等比数列an的公比为 q，因为 a24a6，所以(a1q3)2a1q5，所以 a1q1，又 a113，所以 q3，所以 S5a11q51q13135131213.优解 设等比数列an的公比为
4、 q，因此 a24a6，所以 a2a6a6，所以 a21，又 a113，所以 q3，所以 S5a11q51q13135131213.答案：121332020济南市模拟已知正项等比数列an满足 a31，a5 与32a4 的等差中项为12，则 a1 的值为()A4 B2C.12D.14解析：由题意知 212a532a4，即 3a42a52.设an的公比为 q(q0)，则由 a31，得 3q2q22，解得 q12或 q2(舍去)，所以 a1a3q24.答案：A悟技法等比数列的基本运算方法(1)等比数列可以由首项 a1 和公比 q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕 a1 和 q 进行(2)
5、对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出 a1，q.如果再给出这三个条件就可以完成 an，a1，q，n，Sn 的“知三求二”问题注意 等比数列求和要讨论 q1 和 q1 两种情况.考点二 等比数列的判定与证明自主练透型2019全国卷已知数列an和bn满足 a11，b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式解析：(1)由题设得 4(an1bn1)2(anbn)，即 an1bn112(anbn)又因为 a1b11，所以anbn是首项为 1，公比为12的等比数列由题设得 4(an1bn1)
6、4(anbn)8，即 an1bn1anbn2.又因为 a1b11，所以anbn是首项为 1，公差为 2 的等差数列(2)由(1)知，anbn 12n1，anbn2n1.所以 an12(anbn)(anbn)12nn12，bn12(anbn)(anbn)12nn12.悟技法等比数列的 4 种常用判定方法定义法若an1an q(q 为非零常数，nN*)或 anan1q(q 为非零常数且 n2，nN*)，则an是等比数列中项公式法若数列an中，an0 且 a2n1anan2(nN*)，则数列an是等比数列通项公式法若数列通项公式可写成 ancqn1(c，q 均是不为 0 的常数，nN*)，则an是等
7、比数列前 n 项和公式法若数列an的前 n 项和 Snkqnk(k 为常数且 k0，q0,1)，则an是等比数列提醒(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.考点三 等比数列的性质及其应用互动讲练型例(1)2020太原市高三模拟已知等比数列an中，a2a5a88，S3a23a1，则 a1()A.12B12C29 D19解析：(1)通解 设等比数列an的公比为 q(q1)，则由 a2a5a88，S3a23a1，得a1qa1q4a1q78，a11q31qa1q3a1，解得q
8、22，a112，故选 B.优解 设等比数列an的公比为 q(q1)，因为 S3a1a2a3a23a1，所以a3a1q22.因为 a2a5a8a358，所以 a52，即a1q42，所以 4a12，所以 a112，故选 B.答案：(1)B(2)2020湖北荆州模拟已知等比数列an的公比不为1，设Sn 为等比数列an的前 n 项和，S127S4，则S8S4_.解析：(2)由题意可知 S4，S8S4，S12S8 成等比数列，则(S8S4)2S4(S12S8)，又 S127S4，(S8S4)2S4(7S4S8)，可得S286S24S8S40，两边都除以 S24，得S8S42S8S460，解得S8S43或
9、2，又S8S41q4(q 为an的公比)，S8S41，S8S43.答案：(2)3悟技法1.掌握运用等比数列性质解题的 2 个技巧(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出 a1，q 满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：若an是等比数列，且 an0，则logaan(a0 且 a1)是以logaa1 为首项，logaq 为公差的等差数列若公比不为 1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2nSn，S3nS2n 仍成等比数列，其公比为 q
10、n.2牢记与等比数列前 n 项和 Sn 相关的几个结论(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列an中，公比为 q.若共有 2n 项，则 S 偶:S 奇q；若共有 2n1 项，则 S 奇S 偶a1a2n1q1q(q1 且 q1)，S奇a1S偶q.(2)分段求和：SnmSnqnSmqnSnmSnSm(q 为公比).变式练(着眼于举一反三)12020甘肃天水二中月考已知数列an的首项 a12，数列bn为等比数列，且 bnan1an，若 b10b112，则 a21()A29B210C211 D212解析：b10b112，b1b2b10b11b19b20210，又 bnan1an，a2a1a3a2a20a
11、19a21a20210，a21a1 210，又 a12，a21211，故选 C 项答案：C2一个项数为偶数的等比数列an，全部各项之和为偶数项之和的 4 倍，前 3 项之积为 64，则 a1()A11 B12C13 D14解析：设数列an的公比为 q，全部奇数项、偶数项之和分别记为 S 奇、S 偶，由题意知，S 奇S 偶4S 偶，即 S 奇3S 偶因为数列an的项数为偶数，所以 qS偶S奇13.又 a1(a1q)(a1q2)64.所以 a31q364，故 a112.答案：B32020长沙模拟已知等比数列an满足a4a6a1a318，a54，记等比数列an的前 n 项积为 Tn，则当 Tn 取最
12、大值时，n()A4 或 5 B5 或 6C6 或 7 D7 或 8解析：解法一 设数列an的公比为 q，由a4a6a1a318，得 q318，则 q12，则 ana5qn527n，从而可得 Tna1a2an2654(7n)26 72nn 221(-n+13n)2，所以当12(n213n)取最大值时，Tn 取得最大值，此时 n6 或 7，故选 C.解法二 设数列an的公比为 q，由a4a6a1a318，得 q318，则 q12，则 ana5qn527n，令 an1，则 n7，又当 n1，当 n7 时，an0，所以当 n6 或 7 时，Tn 取最大值，故选 C.答案：C微专题(十三)新定义、新背景
13、下的数列问题例 如果有穷数列 a1，a2，a3，am(m 为正整数)满足条件a1am，a2am1，ama1，即 aiami1(i1,2，m)，我们称其为“对称数列”例如，数列 1,2,3,4,4,3,2,1 与数列 a，b，c，c，b，a 都是“对称数列”(1)设bn是 8 项的“对称数列”，其中 b1，b2，b3，b4 是等差数列，且 b11，b513.依次写出bn的每一项；(2)设cn是 2m1 项的“对称数列”，其中 cm1，cm2，c2m1 是首项为 a，公比为 q 的等比数列，求cn的各项和 Sn.解析：(1)设数列bn的公差为 d，b4b13d13d.又因为 b4b513，解得 d
14、4，所以数列bn为 1,5,9,13,13,9,5,1.(2)Snc1c2c2m12(cm1cm2c2m1)cm12a(1qq2qm)a2a1qm11q a(q1)而当 q1 时，Sn(2m1)a.Sn2m1a q12a1qm11q a q1.名师点评 1本例是新定义型数列问题，在求等比数列cn前 n 项和时用到了分类讨论思想2分类讨论思想在数列中应用较多，常见的分类讨论有：(1)已知 Sn 与 an 的关系，要分 n1，n2 两种情况；(2)项数的奇、偶数讨论；(3)等比数列的单调性的判断注意与 a1，q 的取值的讨论变式练 若一个数列的第 m 项等于这个数列的前 m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”，若正项等比数列an是一个“2 020 积数列”，且 a11，则当其前 n 项的积最大时 n 的值为_解析：由题意可知 a1a2a3a2 020a2 020，故 a1a2a3a2 0191，因为数列an是正项等比数列且 a11，所以 a1 0101，公比 0q1 且 0a1 0081，故数列an的前 n 项积最大时 n 的值为 1 009 或 1 010.答案：1 009 或 1 010