1、【知识重温】一、必记 3 个知识点1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言 判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)因为_所以 l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)因为_，所以 lbla，a，l，l，l，b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言 判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)因为_ _所以 性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为_ _
2、，所以 aba，b，abP，a，b，a，b3.平行关系中的两个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a，a，则.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若，则.二、必明 3 个易误点1直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件2面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件3如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交【小题热身】1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()(3)若直线 a
3、 与平面 内无数条直线平行，则 a.()(4)若直线 a平面，P，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条()(5)若平面 平面，直线 a平面，则直线 a平面.()2如果直线 a平面，那么直线 a 与平面 内的()A一条直线不相交 B两条直线不相交C无数条直线不相交 D任意一条直线都不相交解析：因为 a平面，直线 a 与平面 无公共点，因此 a 和平面 内的任意一条直线都不相交，故选 D.答案：D3平面 平面 的一个充分条件是()A存在一条直线 a，a，aB存在一条直线 a，a，aC存在两条平行直线 a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b解析：若 l，al，a，a
4、，a，a，故排除 A.若 l，a，al，则 a，故排除 B.若 l，a，al，b，bl，则 a，b，故排除 C.答案：D4a、b、c 为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，现给出四个命题：cc cac aa a其中正确的命题是()A BCD解析：正确错在 与 可能相交错在 a 可能在 内答案：C5如右图，在空间四边形 ABCD 中，MAB，NAD，若AMMBANND，则直线 MN 与平面 BDC 的位置关系是_解析：在平面 ABD 中，AMMBANND，MNBD.又 MN平面 BDC，BD平面 BCD，MN平面 BCD.答案：平行考点一 直线与平面平行的判定和性质互动讲练型 例 1 201
5、9全国卷如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点(1)证明：MN平面 C1DE；(2)求点 C 到平面 C1DE 的距离解析：(1)证明：连接 B1C，ME.因为 M，E 分别为 BB1，BC 的中点，所以 MEB1C，且 ME12B1C.又因为 N 为 A1D 的中点，所以 ND12A1D.由题设知 A1B1 綊 DC，可得 B1C 綊 A1D，故 ME 綊 ND，因此四边形 MNDE 为平行四边形，MNED.又 MN平面 C1DE，所以 MN平面 C1DE.(2)过 C 作 C1E 的垂线，垂足为
6、 H.由已知可得 DEBC，DEC1C，所以 DE平面 C1CE，故 DECH.从而 CH平面 C1DE，故 CH 的长即为 C 到平面 C1DE 的距离由已知可得 CE1，C1C4，所以 C1E 17，故 CH4 1717.从而点 C 到平面 C1DE 的距离为4 1717.悟技法1.判定线面平行的 4 种方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)(3)利用面面平行的性质定理(，a)(4)利用面面平行的性质(，a，a，aa)2解决直线与平面平行的 3 个思维趋向(1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行
7、的直线(2)构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等(3)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.变式练(着眼于举一反三)12020江西南昌模拟如图，在四棱锥 PABCD 中，平面PAD平面 ABCD，底面 ABCD 为梯形，ABCD，AB2DC2 3，且PAD 与ABD 均为正三角形，E 为 AD 的中点，G 为PAD 的重心，AC 与 BD 交于点 F.(1)求证：GF平面 PDC；(2)求三棱锥 GPCD 的体积解析：(1)连接 AG 并延长
8、，交 PD 于点 H，连接 CH.在梯形 ABCD 中，ABCD 且 AB2DC，AFFC21.又 E 为 AD 的中点，G 为PAD 的重心，AGGH21.在AHC 中，AGGHAFFC21，故 GFHC.HC平面 PCD，GF平面 PCD，GF平面 PDC.(2)连接 BE，由平面 PAD平面 ABCD，PAD 与ABD 均为正三角形，E 为 AD 的中点，知 PEAD，BEAD.平面 PAD平面 ABCDAD，PE平面 PAD，PE平面 ABCD，且 PE3.由(1)知 GF平面 PDC，连接FP，V 三棱锥GPCDV 三棱锥FPCDV 三棱锥PCDF13PESCDF.ABD 为正三角形
9、，BDAB2 3，则 DF13BD2 33.又CDFABD60，SCDF12CDDFsinFDC 32，则 V 三棱锥 PCDF13PESCDF 32，三棱锥 GPCD 的体积为 32.考点二 平面与平面平行的判定和性质互动讲练型 例 2 2020广东肇庆实验中学月考如图，已知 ABCDA1B1C1D1 是棱长为 2 的正方体(1)求 B1C1D1ABCD 的体积；(2)求证：平面 AB1D1平面 C1BD.证明：(1)设正方体的体积为 V1，则由题图可知 B1C1D1ABCD 的体积 VV1VAA1B1D12221312222843203.(2)ABCDA1B1C1D1 为正方体，D1C1A
10、1B1，D1C1A1B1，又 ABA1B1，ABA1B1，D1C1AB，D1C1AB，四边形 D1C1BA 为平行四边形，D1AC1B，又 D1A平面 C1BD，C1B平面 C1BD，D1A平面 C1BD.同理，D1B1平面 C1BD，又 D1AD1B1D1，平面 AB1D1平面 C1BD.悟技法判定平面与平面平行的 5 种方法(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)(2)面面平行的判定定理(主要方法)(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)(5)利用向量法，通过证明两个平面的
11、法向量平行证得两平面平行.变式练(着眼于举一反三)2如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：(1)B，C，H，G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.证明：(1)GH 是A1B1C1 的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G 四点共面(2)E，F 分别为 AB，AC 的中点，EFBC.EF平面 BCHG，BC平面 BCHG，EF平面 BCHG.A1G 綊 EB，四边形 A1EBG 是平行四边形，A1EGB.A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG，A1E平面 BCHG.A1EEFE，平面 E
12、FA1平面 BCHG.考点三 立体几何中的探索性问题互动讲练型例 3 2020江西南昌重点中学段考如图，四边形 ABCD 是梯形，四边形 CDEF 是矩形，且平面 ABCD平面 CDEF，BADCDA90，ABADDE12CD2，M 是线段 AE 上的动点(1)试确定点 M 的位置，使 AC平面 MDF，并说明理由；(2)在(1)的条件下，求平面 MDF 将几何体 ADEBCF 分成上、下两部分的体积之比解析：(1)当 M 为线段 AE 的中点时，AC平面 MDF.证明如下：如图，连接 CE，交 DF 于 N，连接 MN，因为 M，N 分别是 AE，CE 的中点，所以 MNAC.因为 MN平面
13、 MDF，AC平面 MDF，所以 AC平面 MDF.(2)将几何体 ADEBCF 补成三棱柱 ADEB1CF，则三棱柱 ADEB1CF 的体积 VSADECD122248，VADEBCFVADEB1CFVFBB1C8131222 2203.三棱锥 FDEM 的体积 VFDEM1312 2 2 443，故上、下两部分的体积之比为43:203 43 1:4.悟技法1.平行关系中的探索性问题，主要是对点的存在性问题的探索，一般用转化方法求解，即先确定点的位置，把问题转化为证明问题，而证明线面平行时又有两种转化方法，一是转化为线线平行，二是转化为面面平行2这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从
14、结论出发“要使成立”，“只需使成立”.变式练(着眼于举一反三)3如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 是棱 CC1 的中点，问在棱 AB 上是否存在一点 E，使 DE平面 AB1C1？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由解析：解法一 假设在棱 AB 上存在点 E，使得 DE平面AB1C1，如图，取 BB1 的中点 F，连接 DF，EF，ED，则 DFB1C1，又 DF平面 AB1C1，B1C1平面 AB1C1，DF平面 AB1C1，又 DE平面 AB1C1，DEDFD，平面 DEF平面 AB1C1，EF平面 DEF，EF平面 AB1C1，又EF平面 ABB1，平面 ABB1平面 AB1C1AB1，EFAB1，点 F 是 BB1 的中点，点 E 是 AB 的中点即当点 E 是 AB 的中点时，DE平面 AB1C1.解法二 存在点 E，且 E 为 AB 的中点时，DE平面 AB1C1.证明如下：如图，取 BB1 的中点 F，连接 DF，则 DFB1C1.DF平面 AB1C1，B1C1平面 AB1C1，DF平面 AB1C1.AB 的中点为 E，连接 EF，ED，则 EFAB1.EF平面 AB1C1，AB1平面 AB1C1，EF平面 AB1C1.DFEFF，平面 DEF平面 AB1C1.而 DE平面 DEF，DE平面 AB1C1.