1、【知识重温】一、必记 4 个知识点1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()_；cos()_；tan()_.2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2_；cos 2_；tan 2_.sin cos cos sin cos cos sin sin tan tan 1tan tan 2sin cos cos2sin22cos2112sin22tan 1tan23公式的常用变形(1)tan tan tan()(1tan tan)；(2)cos21cos 22，sin21cos 22；(3)1sin 2(sin cos)2，1sin 2(sin cos)2，sin cos 2sin4.4角的变换技巧2
2、()()；()；2 2；2 2 2.二、必明 2 个易误点1在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错2在(0，)范围内，sin()22 所对应的角 不是唯一的【小题热身】1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立()(3)公式 tan()tan tan 1tan tan 可以变形为 tan tan tan()(1tan tan)，且对任意角，都成立()(4)存在实数，使 tan 22tan.()22020西安质检sin 45cos 15cos 225sin 165()A1 B.
3、12C.32D12解析：sin 45cos 15cos 225sin 165sin 45cos 15(cos45)sin 15sin(4515)sin 3012.答案：B3已知 cos x34，则 cos 2x()A14B.14C18D.18解析：因为 cos x34，所以 cos 2x2cos2x12342118.答案：D4已知 cos 35，是第三象限角，则 cos4 为()A.210 B 210C.7 210 D7 210解析：因为 cos 35，是第三象限的角，所以 sin 1cos2135245，所以 cos4 cos4cos sin4sin 22 35 22 45 210.答案：A
4、52017江苏卷若 tan4 16，则 tan _.解析：因为 tan4 16，所以 tan tan4 4 tan4 tan41tan4 tan4161116175.答案：75考点一 三角函数公式的基本应用自主练透型12019全国卷tan 255()A2 3 B2 3C2 3 D2 3解析：tan 255tan(18075)tan 75tan(3045)tan 30tan 451tan 30tan 4533 11 332 3，故选 D.答案：D22020山西吕梁阶段检测sin 7cos 37sin 83cos 307()A12B.12C 32 D.32解析：sin 7cos 37sin 83c
5、os 307sin 7cos 37cos 7sin 37sin(737)sin(30)sin 3012，故选 A.答案：A32018全国卷若 sin 13，则 cos 2()A.89 B.79C79D89解析：sin 13，cos 212sin21213279.故选B.答案：B悟技法三角函数公式的应用策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.考点二 三角函数公式的活用互动讲练型例 1(1)2019全国卷已知 0，2，2sin 2cos 21，则
6、 sin()A.15B.55C.33D.2 55解析：(1)由二倍角公式可知 4sin cos 2cos2.0，2，cos 0，2sin cos，又sin2cos21，sin 55.故选 B.答案：(1)B(2)2020福建模拟 3cos 154sin215cos 15()A.12B.22C1 D.2解析：(2)3cos 154sin215cos 15 3cos 152sin 152sin 15cos 15 3cos 152sin 15sin 30 3cos 15sin 152cos(1530)2cos 45 2.故选 D.答案：(2)D (3)2018全国卷已知 sin cos 1，cos
7、sin 0，则sin()_.解析：(3)sin cos 1，cos sin 0，22 得 12(sin cos cos sin)11，sin cos cos sin 12，sin()12.答案：(3)12 悟技法三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式(2)tan tan，tan tan(或 tan tan)，tan()(或 tan()三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形应用.变式练(着眼于举一反三)12020广东湛江中学模拟已知2cos，即 tan 1，40，220，cos 2 725，1cos2sin21cos 2257.故选 C.解法二
8、 sin cos 15，sin 22425.20，sin cos 1sin 2 75，1cos2sin2 1cos sin cos sin 257，故选 C.解法三 由20，sin cos 15，易得40，取满足条件的特殊值 sin 35，cos 45，1cos2sin2145354535257，故选 C.答案：C22020甘肃兰州三中月考已知 cos(2)2cos，则 tan(4)()A4 B4C13 D13解析：cos(2)2cos()，sin 2cos，tan 2，tan(4)1tan 1tan 13，故选 C.答案：C考点三 角的变换互动讲练型例 2(1)2020石家庄检测已知 0，2
9、，cos3 23，则 cos _；(2)已知 4，0，2，cos()45，cos4 513，则 cos4 _.解析：(1)因为 0，2，所以 33，56，所以 sin3 53，所以 cos cos3 3 cos3 cos3sin3 sin32312 53 32 1526.(2)因为 4，0，2，所以 4，44，34.又因为 cos()45，cos4 513，所以 sin()35，sin4 1213，所以 cos4 cos4 cos()cos4 sin()sin4 45 5133512131665.答案：(1)1526(2)1665 悟技法利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时
10、，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(3)常见的角变换技巧：22；()；()；12()()；12()()；424.变式练(着眼于举一反三)32020安徽高中联合检测已知 0，2，cos 12 35，则 sin512 _.解析：由 0，2 可得 1212，712，又 cos 12 35，sin 12 45，sin512 sin 12 3 12sin 12 32 cos 12 1245 32 3543 310.答案：43 31042020宁夏银川月考已知锐角，满足
11、 cos 2 55，sin()35，则 sin 的值为()A.2 55 B.55C.2 525 D.525解析：是锐角，是锐角，2，2，又 cos 2 55，sin()35，sin 55，cos()45，sin sin()55 452 55(35)2 55.故选 A.答案：A微专题(十)易错警示：三角函数求值忽视角的范围致误例(1)已知 02，且 cos2 19，sin2 23，则 cos()的值为_；(2)已知在ABC 中，sin(AB)23，cos B34，则 cos A_.易错分析：(1)角2，2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为
12、钝角解析：(1)02，422，42，cos2 1sin22 53，sin2 1cos22 4 59，cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 sin2 sin2 19 53 4 59 237 527，cos()2cos22 12495729 1239729.(2)在ABC 中，cos B34，2B，sin B 1cos2B 74.2BAB，sin(AB)23，cos(AB)1sin2AB 53，cos Acos(AB)Bcos(AB)cos Bsin(AB)sin B 53 34 23 74 3 52 712.答案：(1)239729(2)3 52 712温馨提醒：在解决三角函数式的
13、求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错方法与技巧：1巧用公式变形：和差角公式变形：tan xtan ytan(xy)(1tan xtan y)；倍角公式变形：降幂公式 cos21cos 22，sin21cos 22，配方变形：1sin sina2cos22，1cos 2cos2 2，1cos 2sin22.2重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形失误与防范：1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通2在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围