1、【知识重温】一、必记 2 个知识点1几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 _(_或_)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为_2在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下：P(A)_.长度面积体积几何概型构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积二、必明 2 个易误点1计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题2几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果【小题热身】1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取
2、一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(2)几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体()(3)与 面 积 有 关 的 几 何 概 型 的 概 率 与 几 何 图 形 的 形 状 有关()(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限()2某路公共汽车每 5 分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过 2 分钟的概率是()A.35 B.45C.25D.15解析：试验的全部结果构成的区域长度为 5，所求事件的区域长度为 2，故所求概率为 P25.答案：C32020福建莆田质检从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长
3、，则所取的两个数使得斜边长不大于 1 的概率是()A.8 B.4C.12 D.34解析：任取的两个数记为 x，y，所在区域是正方形 OABC 内部，而符合题意的 x，y 位于阴影区域内(不包括 x，y 轴)，故所求概率 P141211 4.答案：B4一只小蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.827 B.127C.2627 D.1527解析：根据题意，安全飞行的区域为棱长为 1 的正方体，P构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积 127.故选 B.答案：B5在区
4、间1,2上随机取一个数 x，则 x0,1的概率为_解析：1,2的长度为 3，0,1的长度为 1，所以概率是13.答案：13考点一 与长度、角度有关的几何概型自主练透型12016全国卷某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为()A.710 B.58C.38 D.310解析：因为红灯持续时间为 40 秒，所以这名行人至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为40154058，故选 B.答案：B22020广东佛山调研将一根长为 6 m 的绳子剪成两段，则其中一段大于另一段的 2 倍的概率为()A.13
5、B.23C.25 D.35解析：绳子的长度为 6 m，剪成两段后，设其中一段的长度为x m，则另一段的长度为(6x)m，记“其中一段的长度大于另一段长度的 2 倍”为事件 A，则 Ax|0 x26x或6x2x x|0 x2或 4x6，P(A)23，故选 B.答案：B32017江苏卷记函数 f(x)6xx2的定义域为 D.在区间4,5上随机取一个数 x，则 xD 的概率是_解析：由 6xx20，解得2x3，则 D2,3，则所求概率为325459.答案：59 悟技法解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时
6、，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比.考点二 与体积有关的几何概型自主练透型12020湖南衡阳八中模拟如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A14B.12C.4D1 12解析：正方形 ABCD 的面积为 224，圆锥的底面圆的面积为，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是44 14，故选 A.答案：A22020山东青岛调研有
7、一底面圆的半径为 1，高为 2 的圆柱，点 O 为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 A，则点 A到点 O 的距离大于 1 的概率为()A.13B.23C.34 D.14解析：设点 A 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率为 P1，则 P1V半球V圆柱23 1312213，故点 A 到点 O 的距离大于 1 的概率 P11323.答案：B悟技法与体积有关的几何概型对于基本事件在空间的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算.考点三 与面积有关的几何概型分层深化型例(1)2017全国卷如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆
8、中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14 B.8 C.12 D.4解析：(1)不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1，可得 S 正方形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得 S 黑S 白12S 圆2，所以由几何概型知所求概率 P S黑S正方形248.故选 B.答案：(1)B(2)2018全国卷右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC.ABC 的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余
9、部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1，p2，p3，则()Ap1p2 Bp1p3Cp2p3 Dp1p2p3解析：(2)SABC12ABAC，以 AB 为直径的半圆的面积为12AB228AB2，以 AC 为直径的半圆的面积为12AC228AC2，以 BC 为直径的半圆的面积为12BC228BC2，S12ABAC，S8BC212ABAC，S8AB28AC2 8BC212ABAC 12ABAC.SS.由几何概型概率公式得 p1SS总，p2SS总.p1p2.故选 A.答案：(2)A悟技法1.几何概型与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，
10、先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率2几何概型与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率3几何概型与定积分交汇问题的解题思路先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率.同类练(着眼于触类旁通)12020湖北省四校联考如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分，若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为()A.14 B.13C.12 D.23解析：设六角星的中心为点
11、 O，分别将点 O 与两个等边三角形的六个交点连接起来，则将阴影部分分成了六个全等的小等边三角形，并且与其余六个小三角形也是全等的，所以所求的概率 P12，故选 C.答案：C22020西安市八校联考在平面区域(x，y)|0 x1,1y2内随机投入一点 P，则点 P 的坐标(x，y)满足 y2x 的概率为()A.34 B.23C.12 D.14解析：依题意得，不等式组0 x11y2 表示的平面区域的面积为 111，不等式组0 x11y2y2x表示的平面区域的面积为1212114，因此所求的概率为14，选 D.答案：D变式练(着眼于举一反三)32020广州市五校联考ABCD 为长方形，AB2，BC
12、1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为()A.4 B14C.8 D18解析：如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率 PS阴影S长方形ABCD222 14.答案：B42020山东省潍坊市模拟如图，六边形 ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是()A.14 B.13C.23 D.34解析：设正六边形的中心为点 O，BD 与 AC 交于点 G，BC1，则 BGCG，BGC120，在BCG 中，由余弦定理得 1BG2 BG2 2BG2cos120，得BG 33，所
13、以SBCG 12BGBGsin12012 33 33 32 312，因为 S六边形 ABCDEFSBOC61211sin6063 32，所以该点恰好在图中阴影部分的概率是 16SBCGS六边形ABCDEF23.答案：C拓展练(着眼于迁移应用)52020湖北黄冈、黄石等八市联考若张三每天的工作时间在 6 小时至 9 小时之间随机均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于 7 小时的概率是()A.29 B.13C.23 D.79解析：设第一天工作的时间为 x 小时，第二天工作的时间为 y小时，则6x9，6y9，因为连续两天平均工作时间不少于 7 小时，所以xy2 7，即 xy14，6x9，6y9表示的区域面积为 9，其中满足 xy14 的区域面积为 912227，张三连续两天平均工作时间不少于7 小时的概率是79，故选 D.答案：D