1、数学 第2节 排列与组合 数学 最新考纲 1.理解排列组合的概念.2.理解排列数公式、组合数公式.3.能利用公式解决一些简单的实际问题.数学 知识链条完善 考点专项突破 易混易错辨析 数学 知识链条完善 把散落的知识连起来【教材导读】1.排列问题与组合问题的区别是什么?提示:排列问题中元素有顺序,顺序不同就是不同的排列,组合问题中元素没有顺序关系,只要元素相同就是相同的组合.2.排列数mnA 计算结果有何特点?提示:mnA=n(n-1)(n-2)(n-m+1)的右边第一个因数为 n,后面每个因数都比前面的因数少 1,最后一个因数是 n-m+1,共 m 个因数相乘.数学 知识梳理 排列与组合 排
2、列与排列数 组合与组合数 定义 排列:从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素,叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.排列数:从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 组合:从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素 ,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.组合数:从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的 ,叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 公式 排列数公式mnA=n(n-1)(n-2)=!()!nnm 组合数公式mnC=AAmnmm=(1)(2).(1)!n nnnmm=!()!nm nm 性
3、质 nnA=n(n-1)(n-2)321=n!;0!=0Cn=;Cmn=Cn mn;Cmn+1Cmn=1Cmn 备注 n,mN*且 mn (n-m+1)1 按照一定的顺序排成一列 所有不同排列的个数 合成一组 所有不同组合的个数 1 数学 夯基自测 1.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的田地上进行试验,则不同种植方法的种数为()(A)12(B)24 (C)28 (D)32 B 解析:34A=432=24(种).数学 2.2名男生4名女生排成一排,则男生不相邻的排法种数为()(A)600 (B)480 (C)360 (D)240 B 解析:4245A A=480(种).数学 3.6人
4、参加一项活动,要求至少有一人参加,则不同的去法种数为()(A)64 (B)63 (C)62 (D)31 B 解析:按照去的人数分类,去的人数分别为 1,2,3,4,5,6,所以不同的去法有16C+26C+36C+46C+56C+66C=63(种).数学 4.从1,3,5,7,9中任取三个数字,从2,4,6,8中任取两个数字,则可以组成没有重复数字的五位数的个数为 .解析:“先取元素后排列”,分三步完成:第一步,从 1,3,5,7,9 中取三个数,有35C 种取法;第二步,从 2,4,6,8 中取两个数,有24C 种取法;第三步,将取出的五个数全排列,有55A 种排法.共有符合条件的五位数35C
5、24C55A=7 200(个).答案:7 200 数学 5.将4封信投入3个邮筒,每个邮筒至少投一封,则不同投法的种数为 .解析:24C33A=36.答案:36 数学 考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 排列问题【例1】(1)(2015高考四川卷)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()(A)144个(B)120个(C)96个 (D)72个(2)(2015高考广东卷)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答)解析:(1)当五位数的万位为 4 时,个位可以是 0,2,此时满足条件的偶
6、数共有1324C A=48(个);当五位数的万位为 5 时,个位可以是 0,2,4,此时满足条件的偶数共有1334C A=72(个),所以比 40 000 大的偶数共有 48+72=120(个).故选 B.(2)因为同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,所以全班共写了4039=1 560(条)毕业留言.答案:(1)B(2)1 560 数学 反思归纳 元素之间与顺序有关的问题是排列,解题中要分析元素之间是否与顺序有关.在有限制条件的排列问题中,要注意特殊元素和特殊位置,注意正确的分类和分步.数学【即时训练】某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”“进敬老院”“参观工厂”
7、“民俗调查”“环保宣传”五个项目的社会实践活动,每天只安排一项活动,并要求在周一至周五内完成.其中“参观工厂”与“环保宣传”两项活动必须安排在相邻两天,“民俗调查”活动不能安排在周一.则不同安排方法的种数是()(A)48 (B)24 (C)36 (D)64 解析:采用间接法.由于“参观工厂”与“环保宣传”相邻,故总的安排方法为2424A A=48,其中“民俗调查”排在周一时,其他的排法为2323A A=12.符合要求的安排方法为 48-12=36(种).故选 C.数学 考点二 组合问题 【例2】(1)(2015高考上海卷)在报名的3名男教师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男女教师都有
8、,则不同的选取方法的种数为 (结果用数值表示).(2)某书店有11种杂志,2元1本的8种,1元1本的3种.小张用10元钱买杂志(每种至多买一本,10元钱刚好用完),则不同买法的种数是 (用数字作答).解析:(1)直接法:1436C C+2336C C+3236C C=120.间接法:59C-56C=126-6=120(种).(2)根据题意,可有以下两种情况:用 10 元钱买 2 元 1 本的杂志 5 本,共有58C=56(种);用 10 元钱买 2 元 1 本的杂志 4 本和 1 元 1 本的杂志 2 本共有48C 23C=703=210(种).根据分类加法计数原理,共有 56+210=266
9、(种)不同的买法.答案:(1)120(2)266 数学 反思归纳 如果元素之间与顺序无关则是组合问题,解题中要根据问题的具体情况辨别是组合问题还是排列问题.在含有限制条件的组合问题中要考虑特殊元素,进行必要的分类和分步,如果正面解答困难,可考虑使用间接法求解.数学【即时训练】(2015河南郑州市二次质量预测)某校开设A类选修课2门,B类选修课3门,一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有()(A)3种(B)6种(C)9种(D)18种 解析:直接法:1223C C+2123C C=9.间接法:35C-1=9.故选 C.数学 排列组合的综合问题 考点三 【例3】(1)有甲
10、、乙、丙3项任务,任务甲需要2人承担,任务乙、丙各需要1人承担,从10人中选派4人承担这3项任务,不同的选法共有 种.(用数字作答)解析:(1)法一 先从 10 人中选出 2 人承担任务甲,再从余下 8 人中选出 1 人承担任务乙,最后从剩下的 7 人中选出 1 人承担任务丙.根据分步乘法计数原理,不同的选法共有 2111087C C C=2 520(种).(教师备用)法二 先从 10 人中选出 2 人承担任务甲,再从余下 8 人中选出 2人分别承担任务乙、丙.根据分步乘法计数原理,不同的选法共有 22108C A=2 520(种).答案:(1)2 520 数学(2)国家教育部为了发展贫困地区
11、教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教,现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教,有 种不同的分派方法.解析:(2)先把 6 个毕业生平均分成 3 组,有22264233C C CA种方法,再将 3 组毕业生分到 3 所学校,有33A 种方法,故 6 个毕业生平均分到 3 所学校,共有22264233C C CA33A=90(种)分派方法.答案:(2)90 数学 反思归纳 (1)相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法;(2)注意根据情况分类与分步;(3)分组分配问题中先分组再分配,注意均匀分组与不均匀分组.数学【即时训练】(1)(2015山西省
12、康杰中学等四校第三次联考)有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方法种数为()(A)150(B)180(C)200(D)280 解析:(1)先分组后分配,分组方法数为11354322C C CA+22153122C C CA,故总的分派方法数为(11354322C C CA+22153122C C CA)23A=150.答案:(1)A 数学(2)(2015甘肃二诊)用0,1,2,3,4五个数组成无重复数字的五位数,其中1与3不相邻,2与4也不相邻,则这样的五位整数共有 个.解析:(2)若 0 在 1,3 之间,则在 0,1,3 隔开的四个空位中插入 2,4
13、 即可,此时的五位数个数为2224A A=24;若 0 在 1,3 右边,则 1,3 之间需插入一个数,另一个数在最高位,或者在 0 左右,此时五位数的个数为2122A C 3=12;若 0 在1,3 左边,此时 2,4 只能一个在 0 的左边(最高位)、一个在 1,3 之间,此时的五位数个数为2222A A=4.故共可组成五位数有 24+12+4=40(个).答案:(2)40 数学 备选例题 【例 1】(1)若 33Ax=221Ax+62Ax,则 x=.(2)若216Cxx=5516C x,则 x=.解析:(1)原方程可化为 3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),因为 x
14、3,所以 3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),整理得 3x2-17x+10=0.解之得 x=23(舍去)或 x=5.所以原方程的解为 x=5.(2)原方程可化为x2-x=5x-5或(x2-x)+(5x-5)=16,即x2-6x+5=0或x2+4x-21=0.解得x=1,x=5或x=-7,x=3,经检验x=5和x=-7不合题意,故原方程的根为1,3.答案:(1)5(2)1或3 数学【例2】某课外活动小组共有13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长,现从中选5人主持某种活动,依据下列条件各有多少种选法?(1)只有2名女生;(2)两队长当选;解:(1)由题意,需选
15、2 名女生,3 名男生,不同的选法有25C 38C=1056=560(种).(2)两队长当选,则只需从其他 11 人中选出 3 人即可,故不同的选法有311C=165(种).数学(3)至少有一名队长当选;解:(3)法一(直接法)至少有一名队长当选,可分恰有一名队长当选与两名队长都当选两类.恰有一名队长当选,先从 2 名队长中选 1 人,然后从 11 名队员中选 4 人,不同的选法有12C 411C=2330=660(种).两名队长都当选,则只需从其他 11 人中选出 3 人,不同的选法有311C=165(种).由分类加法计数原理可知,不同的选法共有 660+165=825(种).法二(间接法)
16、从 13 人中任选 5 人,不同的选法有513C=1 287(种).而两名队长都未当选,即只从 11 名队员中选取 5 人,不同的选法为511C=462(种).所以至少有一名队长当选的选法共有:1 287-462=825(种).数学(4)至多有两名女生当选.解:(4)至多有两名女生当选可分为三类:没女生当选,即从男生 8 人中选取 5 人,不同的选法为58C=56(种);恰有一名女生当选,则需从男生中选取 4 人,不同的选法为15C 48C=570=350(种);恰有两名女生当选,则需从男生中选取 3 人,不同的选法为25C 38C=560(种).由分类加法计数原理得不同的选法共有 56+35
17、0+560=966(种).数学【例3】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;解:(1)无序不均匀分组问题.先选 1 本,有16C 种选法;再从余下的 5 本中选 2 本,有25C 种选法;最后余下 3 本全选,有33C 种选法.故共有16C25C33C=60(种).(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还应考虑再分配,共有16C25C33C33A=360(种).(3)无序均匀分组问题.分配方式有22264233
18、C C CA=15(种).数学(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.解:(4)有序均匀分组问题.在(3)的基础上再分配给 3 个人,共有分配方式22264233C C CA33A=222642C C C=90(种).(5)无序部分均匀分组问题.共有41162122C C CA=15(种).(6)有序部分均匀分组问题.在(5)的基础上再分配给 3 个人,共有分配方式41162122C C CA33A=90(种).(7)直接分配问题.甲选 1 本,有16C 种
19、方法;乙从余下的 5 本中选 1 本,有15C 种方法,余下 4 本留给丙,有44C 种方法,故共有分配方式16C15C44C=30(种).数学 易混易错辨析 用心练就一双慧眼 元素相同的排列组合的易误点【典例】10个优秀指标名额分配给6个班级,每个班至少一个,则不同的分配方法的种数为 .解析:由于是 10 个名额,故名额和名额之间是没有区别的,不妨把这 10 个名额在桌面上从左到右一字摆开,这样在相邻的两个名额之间就出现了一个空档,10 个名额之间就出现了 9 个空档,把这 9 个空档中的 5 个空档上各放上一个隔板,就把这 10 个指标从左到右分成了 6 份,且满足每份至少一个名额,所以不同的放法种数是59C=126.答案:126 数学 易错提醒:元素是否相同是解题中值得注意的,在一般的排列组合问题中各个元素是不同的,但在一些特殊的问题中元素是可以相同的,如本题,再如用两个 1、三个 2 组成五位数,则只要在 5 个位置上选两个位置安排 1、剩下的位置都安排2 即可,一个不同的选法对应一个不同的五位数,即可组成不同的五位数的个数为25C=10.数学 点击进入课时训练数学