1、第1讲集合与常用逻辑用语 集合的概念、关系及运算1.(2015湖北武汉市2月调研)已知集合A=y|y=log2x,x1,B=y|y=()x,x1,则AB等于(A)(A) y|0y(B)y|0y1(C) y|y0,B=y|0y,则AB=y|0ylg x,命题q:xR,ex1,则(C)(A)命题pq是假命题 (B)命题pq是真命题(C)命题p(q)是真命题(D)命题p()q)是假命题解析:取x=10,得x-2lg x,则命题p是真命题;取x=-1,得ex1,命题q是假命题, q是真命题,故选C.5.(2015四川成都市一诊)下列有关命题的说法正确的是(C)(A)命题:“若x2=1,则x=1”的否命
2、题为“若x2=1,则x1”(B)“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件(C)命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题(D)命题“xR使得x2+x+10”的否定是:“xR均有x2+x+10”解析:否命题应同时否定条件与结论,则选项A错;若x=-1,则x2-5x-6=0成立,反之,不成立,选项B错;因为原命题为真命题,则其逆否命题为真命题,选项C正确;应同时否定结论,选项D错,故选C.6.已知命题p:函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x2-a在(0,+)上是减函数.若p且q为真命题,则实数a的取值范围是(C)(A)(1,+)
3、(B)(-,2(C)(1,2 (D)(-,1(2,+)解析:由题意可得,对命题p,令f(0)f(1)0,即-1(2a-2)1;对命题q,令2-a2,则q对应的a的范围是(-,2.因为p且q为真命题,所以实数a的取值范围是10且a1)在(-1,+)上是增函数,则p成立是q成立的(C)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:由命题p得a1,则p:a1;由命题q得a1,则p成立是q成立的充要条件,故选C.9.(2015福建卷)“对任意x(0, ),ksin xcos xx” 是“k0.任意x(0, ),ksin xcos xx,等价
4、于任意x(0, ),k.当x(0, )时,02x,设t=2x,则0t0,所以f(t)=t-sin t在(0,)上单调递增,所以f(t)0,所以tsin t0,即1,所以k1.所以任意x(0, ),k,等价于k1.因为k1k1,但k1k1,所以“对任意x(0, ),ksin xcos xx”是“km+3,即m0时,有x|-1x4x|m+3x-m+3,此时解得m-4.当-m+30时,有x|-1x4x|-m+3xm+3,此时解得m4.综上,实数m的取值范围是m|m-4或m4.答案:m|m-4或m4量词、含有量词的命题的否定11.(2015福建漳州市3月质检)已知命题p:xR,sin x,则(B)(A
5、) p:xR,sin x(B) p:xR,sin x(C) p:xR,sin x (D) p:xR,sin x解析:命题p是全称命题,它的否定是特称命题,并把结论否定,故选B.12.已知p:xR,mx2+20,q:xR,x2-2mx+10,若pq为假命题,则实数m的取值范围是(A)(A)1,+)(B)(-,-1(C)(-,-2(D)-1,1解析:因为pq为假命题,所以p和q都是假命题.由p:xR,mx2+20为假命题,得p:xR,mx2+20为真命题,所以m0.由q:xR,x2-2mx+10为假命题,得q:xR,x2-2mx+10为真命题,所以=(-2m)2-40m21m-1或m1.由和得m1
6、.故选A. 一、选择题1.(2015天津卷)已知全集U=1,2,3,4,5,6,集合A=2,3,5,集合B=1,3,4,6,则集合AUB等于(B)(A)3(B)2,5 (C)1,4,6(D)2,3,5解析:因为UB=2,5,所以AUB=2,5.故选B.2.(2015辽宁锦州市质检一)已知集合A=cos 0,sin 270,B=x|x2+x=0,则AB为(C)(A)0,-1(B)-1,1(C)-1(D)0解析:因为A=1,-1,B=-1,0,所以AB=-1.故选C.3.(2015安徽马鞍山市质检)设集合A=1,2,3,4,B=3,4,5,全集U=AB,则集合U(AB)的元素个数为(C)(A)1个
7、(B)2个(C)3个(D)4个解析:U=AB=1,2,3,4,5,AB=3,4所以U(AB)=1,2,5,即集合U(AB)的元素个数为3个,故选C.4.若P=x|x-1,则(D)(A)PQ(B)QP(C)RPQ(D)QRP解析:因为P=x|x1,所以QRP.故选D.5.下列有关命题的说法正确的是(C)(A)命题“若xy=0,则x=0”的否命题为:“若xy=0,则x0”(B)命题“x0R,使得2-10”的否定是:“xR,均有2x2-1B”是“sin Asin B”的(C)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:由正弦定理知=,若sin Asin B
8、成立,则ab,所以AB.反之,若AB成立,则有ab,所以sin Asin B,所以“AB”是“sin Asin B”的充要条件.故选C.7.(2014辽宁卷)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若ab=0,bc=0,则ac=0;命题q:若ab,bc,则ac.则下列命题中真命题是(A)(A)pq (B)pq(C)(p)(q)(D)p(q)解析:如图,若a=,b=,c=,则ac0,命题p为假命题;显然命题q为真命题,所以pq为真命题.故选A.8.(2015江西四校联考)下列命题中,真命题是(D)(A)对于任意xR,2xx2(B)若“p且q”为假命题,则p,q均为假命题(C)“平面向量a,b的夹角是
9、钝角”的充分不必要条件是“abx2不成立,所以A是假命题;若“p且q”为假命题,则p,q可以一真一假,所以B是假命题;因为ab0时,向量a,b可能共线反向,即a,b夹角是180,不是钝角,所以C是假命题;当m=2时,f(x)=(m-1)是幂函数,且在(0,+)上是递减的,所以D成立.故选D.9.(2015内蒙古赤峰市三模)下列四种说法中,正确的是(C)(A)A=-1,0的子集有3个(B)“若am2bm2,则ab”的逆命题为真(C)“命题pq为真”是“命题pq为真”的必要不充分条件(D)命题“xR,x2-3x-20”的否定是:“xR,使得x2-3x-20”解析:A=-1,0的子集有,-1,0,-
10、1,0,共4个,A错;若“am2bm2,则ab”的逆命题为“若ab,则am2bm2”,m=0时为假命题,B错;“命题pq为真”,命题p与q至少有一个为真,而“命题pq”为真,命题p与q全为真,C正确;命题“xR,x2-3x-20”的否定是:“xR,使得x2-3x-20”,D错.故选C.10.已知p:xk,q:1,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是(B)(A)2,+)(B)(2,+)(C)1,+)(D)(-,-1)解析:因为1,所以-1=0,所以x2或x2,故选B.11.(2015梅州二模)函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是(C)(A)ab=0(B)a+b=0(C)
11、a2+b2=0(D)a=b解析:当a=b=0时,f(x)=x|x|是奇函数,若f(x)=x|x+a|+b是奇函数,则f(0)=b=0.f(-x)=-x|-x+a|=-f(x)=-x|x+a|,则a=0.故选C.12.(2015辽宁丹东市一模)关于函数f(x)=x2(ln x-a)+a,给出以下4个结论:a0,x0,f(x)0;a0,x0,f(x)0;a0,x0,f(x)0;a0,x0,f(x)0.其中正确结论的个数是(D)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:当a=时,f(x)=x2(ln x-)+,其定义域为(0,+).令f(x)=2xln x=0,得x=1.当x1时,f(x)0,f(x)单
12、调递增;当0x1时,f(x)0,f(x)f(1)=0,故正确.当a=5时,f(x)=x2(ln x-5)+5,f(e)=e2(ln e-5)+5=-4e2+50,x0,f(x)0成立.由知,当a=5时,x=e,满足e0,但f(e)0,x0,f(x)0不成立,错误;f(x)=2x(ln x+-a),令f(x)=0,即ln x+-a=0,得ln x=a-.所以a0,函数f(x)都存在极值点,且f(1)=0,即x0,f(x)0成立,故正确.综上正确.故选D.二、填空题13.设S=x|x5,T=x|axa+8,ST=R,则a的取值范围是.解析:在数轴上表示两个集合,因为ST=R,如图所示,可得解得-3
13、a”是“x”的条件.解析:当x=,满足x,但sin x=,则sin x不成立,即必要性不成立.若x=-2+满足sin x=,但x不成立,即充分性不成立.故“x”是“sin x”的既不充分也不必要条件.答案:既不充分也不必要15.已知命题p:存在实数x,使得不等式x2+2ax+a0成立,若命题p是假命题,则实数a的取值范围是.解析:命题p是假命题,则命题p为真命题,即对任意实数x,不等式x2+2ax+a0恒成立,从而=4a2-4a0,解得0a1.答案:(0,1)16.对任意两个集合X、Y,定义X-Y=x|xX且xY,XY=(X-Y)(Y-X).设A=y|y=x2,xR,B=y|y=3sin x,xR,则AB=.解析:由已知得A=y|y=x2,xR=0,+).B=y|y=3sin x,xR=-3,3,于是A-B=(3,+),B-A=-3,0),故AB=-3,0)(3,+).答案:-3,0)(3,+)