1、第一章1.2应用举例第一课时距离问题课时分层训练1如图，为了测量隧道两口之间AB的长度，对给出的四组数据，要求计算时最简便，测量时最容易，应当采用的一组是()Aa，b，Ba，b，Ca，b， D，a解析：选A根据实际情况，都是不易测量的数据，在ABC中，a，b可以测得，角也可测得，根据余弦定理能直接求出AB的长故选A.2某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为()A. B2C.或2 D3解析：选C如图所示，设此人从A出发，则ABx，BC3，AC，ABC30，由余弦定理，得()2x2322x3cos 30，整理得x23x60，解得x
2、或x2.3.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A30，则其跨度AB的长为()A12米 B8米C3米 D4米解析：选DABC为等腰三角形，A30，B30，C120，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C424224448，AB4米4已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离是()Aa km Ba kmC.a km D2a km解析：选C如图所示，在ABC中，ACB1802040120，ACBCa，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 120a2a
3、22a23a2，ABa(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为a km.5一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向上，另一灯塔在船的南偏西75方向上，则这艘船的速度是每小时()A5 n mile B5 n mileC10 n mile D10 n mile解析：选C如图，依题意有BAC60，BAD75，CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，求得AB5，这艘船的速度是10(n mile/h)故选C.6要测量对岸两点A，B之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC3
4、0，ADB45，则A，B之间的距离为 km.解析：如图所示，在ACD中，ACD120，CADADC30，ACCD(km)在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60，由正弦定理，得BC(km)在ABC中，由余弦定理得AB2()222cos 75325，AB(km)，A，B之间的距离为 km.答案：7上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是 m.解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知ACB120，且ACBC，过C作
5、AB的垂线交AB于D，在RtCBD中，DB500 m，DCB60，BC m.答案：8如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为 海里/时解析：由题可知PM68，MPN120，N45，由正弦定理，得MN6834，速度v(海里/时)答案：9.如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD6 000 mACD45，ADC75，目标出现于地面B处时测得BCD30，BDC15.求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)解：在ACD中，CAD60，由正弦定理知ADCD.在BCD中，C
6、BD135，由正弦定理得，BDCD，在ABD中，ADB90.则ABCD1 000(m)10.如图所示，某观测站C在城A的南偏西20的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？解：在BCD中，BC31 km，BD20 km，CD21 km，由余弦定理得cos BDC.cos ADC，sin ADC.在ACD中，由条件知CD21 km，BAC204060，sin ACDsin(60ADC).由正弦定理得，AD15(km)故这时此车距离
7、A城15 km.1某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300 m和500 m，测得灯塔A在观察站C北偏东30，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为()A500 m B600 mC700 m D800 m解析：选C根据题意画出图形如图在ABC中，BC500，AC300，ACB120，由余弦定理得，AB2AC2BC22ACBCcos 120300250022300500490 000，AB700(m)故选C.2如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离ACBC1 km，且ACB120，则A，B两点间的距离为()A. km B kmC1
8、.5 km D2 km解析：选A根据余弦定理AB2AC2BC22ACBCcos C，AB(km)故选A.3一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10海里 B10海里C20海里 D20海里解析：选A如图，由已知可得，BAC30，ABC105，AB20，从而ACB45.在ABC中，由正弦定理，得BCsin 3010.故选A.4.要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，
9、在河的一岸边选取A，B两点，观察对岸的点C，测得CAB45，CBA75，且AB120 m，由此可得河宽为(精确到1 m)()A170 m B98 mC95 m D86 m解析：选C在ABC中，AB120，CAB45，CBA75，则ACB60，由正弦定理，得BC40.设ABC中，AB边上的高为h，则h即为河宽，hBCsin CBA40sin 7595(m)故选C.5.如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140的方向航行，为了确定船位，在B处观测灯塔A的方位角为110，航行半小时后到达C处，观测灯塔A的方位角为65，则货轮到达C处时与灯塔
10、A的距离是 km(精确到1 km)解析：依题意，知ABC30，C105，BC4020，A1803010545，由正弦定理，得，解得AC10 14(km)故货轮到达C处时与灯塔A的距离约为14 km.答案：146一艘海轮以20 n mile/h的速度向正东方向航行，它在A点测得灯塔P在船的北偏东60方向上，2 h后船到达B点时，测得灯塔P在船的北偏东45方向上，则B点到灯塔P的距离为 n mile.解析：由题可知，在ABP中，AB40，PAB30，ABP135，BPA15，由正弦定理得，BP20()(n mile)答案：20()7如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30
11、，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于 m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)解析：根据已知的图形可得AB.在ABC中，BCA30，BAC37，由正弦定理，得.所以BC20.6060(m)答案：608.如图所示，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D间的距离(计算结果精确到0.01 km.参考数据：1.414，2.449)解：在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1.又因为BCD180606060，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BDBA.在ABC中，其中ABC756015，即AB.因此BD0.33(km)故B，D间的距离约为0.33 km.