1、6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示课后训练提升基础巩固1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=12,-34解析选项A中向量e1为零向量,e1e2;选项C中e1=12e2,e1e2;选项D中e1=4e2,e1e2;选项B中两向量不共线,故可作为基底,故选B.答案B2.已知点A(1,1),B(4,2)和向量a=(2,),若aAB,则实数的值为()A.-23B.32C.23D.-32解析根据A,B两点的坐标,可得AB=(3,1
2、),aAB,21-3=0,解得=23.故选C.答案C3.已知A(2,-1),B(3,1),则与AB平行且方向相反的向量a可能是()A.(2,1)B.(-6,-3)C.(-1,2)D.(-4,-8)解析AB=(1,2),向量(2,1),(-6,-3),(-1,2)与(1,2)不平行,(-4,-8)与(1,2)平行且方向相反,故选D.答案D4.已知向量a=(x,2),b=(3,-1),若(a+b)(a-2b),则实数x的值为()A.-3B.2C.4D.-6解析因为(a+b)(a-2b),a+b=(x+3,1),a-2b=(x-6,4),所以4(x+3)-(x-6)=0,解得x=-6.答案D5.已知
3、a=(-2,1-cos ),b=1+cos,-14,且ab,则锐角等于()A.45B.30C.60D.15解析由ab,得-2-14-(1-cos )(1+cos )=0,即12=1-cos2=sin2,得sin =22,又为锐角,因此sin =22,=45.故选A.答案A6.已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是()A.k=-2B.k=12C.k=1D.k=-1解析因为A,B,C三点不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,则ABAC,又AB=OB-OA=(1,2),AC=OC-OA=(k,k+1),所以2
4、k-(k+1)=0,即k=1.答案C7.已知向量a=(3x-1,4)与b=(1,2)共线,则实数x的值为.解析向量a=(3x-1,4)与b=(1,2)共线,2(3x-1)-41=0,解得x=1.答案18.已知点A(-1,4),点B(x,-2),若点C(3,3)在直线AB上,则x=.解析由已知条件得AB=(x+1,-6),AC=(4,-1),ABAC,-(x+1)+24=0,x=23.答案239.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若为实数,(a+b)c,则的值为.解析由题意知,a+b=(1+,2),c=(3,4).因为(a+b)c,所以4(1+)-23=0,解得=12.答案
5、1210.如图所示,在平行四边形ABCD中,A(0,0),B(3,1),C(4,3),D(1,2),M,N分别为DC,AB的中点,求AM,CN的坐标,并判断AM,CN是否共线.解由中点坐标公式可得M(2.5,2.5),N(1.5,0.5),AM=(2.5,2.5),CN=(-2.5,-2.5),又2.5(-2.5)-2.5(-2.5)=0,AM,CN共线.11.已知A,B,C三点的坐标为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且AE=13AC,BF=13BC,求证:EFAB.证明设E,F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),依题意有AC=(2,2),BC=(-2,3),AB=(4,-1
6、).AE=13AC,(x1+1,y1)=13(2,2).点E的坐标为-13,23.同理点F的坐标为73,0,EF=83,-23.又83(-1)-4-23=0,EF AB.能力提升1.已知向量a=(-1,1),b=(3,m),若a(a+b),则m=()A.2B.-2C.-3D.3解析因为a+b=(2,m+1),所以-(m+1)=2,解得m=-3.答案C2.若A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线,则y=()A.13B.-13C.9D.-9解析A,B,C三点共线,ABAC,而AB=(-8,8),AC=(3,y+6),-8(y+6)-83=0,解得y=-9.答案D3.已知向量a=(1,
7、0),b=(0,1),c=ka+b(kR),d=a-b,如果cd,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向解析若cd,则c=d,ka+b=(a-b),得k=,1=-,k=-1,c=-a+b=-(a-b)=-d.故k=-1且c与d反向.答案D4.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是()A.(1,5)或(5,5)B.(1,5)或(-3,-5)C.(5,-5)或(-3,-5)D.(1,5)或(5,-5)或(-3,-5)解析设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为D
8、,若这个平行四边形为ABCD,则AB=DC,D(-3,-5);若这个平行四边形为ACDB,则AC=BD,D(5,-5);若这个平行四边形为ACBD,则AC=DB,D(1,5).综上所述,D点坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5).答案D5.已知向量a=(3,1),b=(0,-1),c=(k,3),3a-b=,若a-2b与c共线,则k=.答案(33,4)16.已知AB=(6,1),BC=(4,k),CD=(2,1).若A,C,D三点共线,则k=.解析因为AB=(6,1),BC=(4,k),CD=(2,1),所以AC=AB+BC=(10,k+1).又A,C,D三点共线,所以ACCD,所以1
9、01-2(k+1)=0,解得k=4.答案47.已知点A(1,1),B(3,-1),C(a,b).(1)若A,B,C三点共线,求a与b之间的数量关系;(2)若AC=2AB,求点C的坐标.解(1)若A,B,C三点共线,则AB与AC共线.AB=(3,-1)-(1,1)=(2,-2),AC=(a-1,b-1),2(b-1)-(-2)(a-1)=0,a+b=2.(2)若AC=2AB,则(a-1,b-1)=(4,-4),a-1=4,b-1=-4,解得a=5,b=-3,点C的坐标为(5,-3).8.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;(2)若(a+kc)(2b-a),求实数k的值.解(1)因为a=mb+nc,所以(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).所以-m+4n=3,2m+n=2,解得m=59,n=89.(2)因为(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),所以2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,解得k=-1613.