1、课后限时集训(九)函数的单调性与最值建议用时：40分钟一、选择题1下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是()Ay2x1 ByCyln x Dyx3B函数y的定义域为(，0)(0，)，y在区间(，0)和(0，)上分别是减函数，但在定义域上不是单调函数，故选B2函数f(x)x在上的最大值是()A B C2 D2A函数f(x)x在(，0)上是减函数，则函数f(x)在上的最大值为f(2)2，故选A3函数f(x)x|1x|的单调递增区间为()A(，0) B(，1C(0，) D1，)Bf(x)因此函数f(x)的单调递增区间为(，1，故选B4已知函数f(x)|xa|在(，1)上是单调函数，则a的取值范围
2、是()A(，1 B(，1C1，) D1，)Af(x)由题意知a1，即a1，故选A5已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A BC DD因为函数f(x)是定义在区间0，)上的增函数，满足f(2x1)f.所以02x1，解得x.6函数y，x(m，n的最小值为0，则m的取值范围是()A(1,2) B(1,2) C1,2) D1,2)D函数y1，当x(1，)时，函数是减函数，又当x2时，y0，1m2，故选D二、填空题7已知函数f(x)ln xx，若f(a2a)f(a3)，则正实数a的取值范围是_(3，)因为f(x)ln xx在(0，)上
3、是增函数，所以解得3a1或a3.又a0，所以a3.8函数f(x)的值域为_，因为 所以2x4，所以函数f(x)的定义域为2,4又y1，y2在区间2,4上均为减函数，所以f(x)在2,4上为减函数，所以f(4)f(x)f(2)即f(x) .9(2020长春模拟)若函数f(x)在(，)上单调递增，则实数m的取值范围是_(0,3由题意知解得0m3.三、解答题10已知函数f(x)(a0，x0)(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值解(1)证明：任取x1x20，则f(x1)f(x2)，x1x20，x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x
4、2)，f(x)在(0，)上是增函数(2)由(1)可知，f(x)在上是增函数，f2，f(2)2，解得a.11设函数f(x)ax2bx1(a，bR)，F(x)(1)若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立，求F(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，当x2,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围解(1)f(1)0，ba1.由f(x)0恒成立，知a0且方程ax2bx10中b24a(a1)24a(a1)20，a1.从而f(x)x22x1.F(x)(2)由(1)可知f(x)x22x1，g(x)f(x)kxx2(2k)x1，由g(x)在2,2上是单调函数，知2或2，得k2或k6.即
5、实数k的取值范围为(，26，)1(2020曲阜模拟)已知函数f(x)logax(a0且a1)满足f(a1)f(a2)，则f(2x3)0的解集是()A(，2) B C D(2，)C因为函数f(x)logax(a0且a1)满足f(a1)f(a2)，所以0a1，则函数f(x)logax(0a1)是减函数，所以f(2x3)0可化为02x31，求解可得x2，故选C2设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_0,1)由题意知g(x)函数图象如图所示，其递减区间是0,1)3已知f(x)，x1，)(1)当a时，用定义证明函数的单调性并求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(
6、x)0恒成立，试求实数a的取值范围解(1)当a时，f(x)x2，任取1x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2).因为1x1x2，所以x1x21，所以2x1x210.又x1x20，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在1，)上是增函数，所以f(x)在1，)上的最小值为f(1).(2)因为在区间1，)上，f(x)0恒成立，则等价于a大于函数(x)(x22x)在1，)上的最大值因为(x)(x1)21在1，)上单调递减，所以当x1时，(x)取最大值为(1)3，所以a3，故实数a的取值范围是(3，)1如果函数yf(x)在区间I上是增函数，且函数y在区间I上是减函数，那么称函数yf(x)是区间I上的
7、“缓增函数”，区间I叫作“缓增区间”若函数f(x)x2x是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为()A1，) B0， C0,1 D1，D因为函数f(x)x2x的图象的对称轴为直线x1，所以函数yf(x)在区间1，)上是增函数又当x1时，1，令g(x)1(x1)，则g(x)，由g(x)0得1x，即函数1在区间1，上单调递减故“缓增区间”I为1，2已知定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)1；当x0时，f(x)1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调递增函数(2)若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1x)4.解(1)令xy0，得f(0)1.在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1x2)1.又f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调递增函数(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5.由f(x22x)f(1x)4，得f(x22x)f(1x)15，即f(x2x1)f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2x13，解得x2或x1，故原不等式的解集为x|x2或x1