1、6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时余弦定理、正弦定理应用举例课后训练提升基础巩固1.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆,甲观测的仰角为50,乙观测的仰角为40,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有(忽略两人的身高差距)()A.d1d2B.d120 mD.d220 m解析仰角大说明距离小,仰角小说明距离大,即d1d2.答案B2.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4 m,A=30,则其跨度AB的长为()A.12 mB.8 mC.33 mD.43 m解析由题意知,A=B=30,所以C=180-30-30=120,由正弦定理,得ABsinC=A
2、CsinB,即AB=ACsinCsinB=4sin120sin30=43.答案D3.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为()A.1762 n mile/hB.346 n mile/hC.1722 n mile/hD.342 n mile/h解析如图所示,在PMN中,由正弦定理,得PMsin45=MNsin120,MN=346,v=MN4=1762 n mile/h.答案A4.若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30,此人往金字塔方向走了80米到达点B,测得金字塔顶端的仰角为45,则金字塔
3、的高度最接近于(忽略人的身高)(参考数据31.732)()A.110米B.112米C.220米D.224米解析如图,设CD为金字塔,AB=80米.设CD=h,则由已知得(80+h)33=h,h=40(3+1)109(米).选项A最接近.故选A.答案A5.海上的A,B两个小岛相距10 n mile,从A岛望C岛和B岛成60的视角,从B岛望C岛和A岛成75的视角,则B岛与C岛之间的距离是()A.103 n mileB.1063 n mileC.52 n mileD.56 n mile解析由题意,作出示意图,如图,在ABC中,C=180-60-75=45.由正弦定理,得BCsin60=10sin45
4、,解得BC=56(n mile).答案D6.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离,已知AC=BC=1 km,且ACB=120,则A,B两点间的距离为()A.3 kmB.2 kmC.1.5 kmD.2 km解析根据余弦定理AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C,AB=AC2+BC2-2ACBCcos120=1+1+21112=3(km).故选A.答案A7.某人从A处出发,沿北偏东60行走33 km到B处,再沿正东方向行走2 km到C处,则A,C两地的距离为 km.解析如图所示,由题意可知AB=33,BC=2,ABC=150.由余弦定理
5、,得AC2=27+4-2332cos 150=49,则AC=7.故A,C两地的距离为7 km.答案78.坡度为45的斜坡长为100 m,现在要把坡度改为30,则坡底要伸长 m.解析画出示意图,如图所示.BD=100,BDA=45,BCA=30,设CD=x,则(x+DA)tan 30=DAtan 45,又DA=BDcos 45=10022=502,所以x=DAtan45tan30-DA=502133-502=50(6-2)m.答案50(6-2)9.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫,然后向右转105,爬行10 cm捕捉到另一只小虫,这时它向右转135爬行回它的出发点,那么x= cm.解析
6、如图所示,设蜘蛛原来在O点,先爬行到A点,再爬行到B点,易知在AOB中,AB=10 cm,OAB=75,ABO=45,则AOB=60.由正弦定理知,x=ABsinABOsinAOB=10sin45sin60=1063(cm).答案106310.如图,C,D两点与烟囱底部A在同一水平直线上,利用高为1.5 m的测角仪器,在点C1,D1处测得烟囱顶部B的仰角分别是=45和=60,点C,D间的距离是12 m.计算烟囱的高.(结果精确到0.01 m)解如图,延长C1D1,交AB于点A1,在BC1D1中,BD1C1=180-60=120,C1BD1=60-45=15,由正弦定理,得C1D1sinC1BD
7、1=BC1sinBD1C1,所以BC1=C1D1sinBD1C1sinC1BD1=12sin120sin15=(182+66)(m),从而A1B=22BC1=(18+63)(m),因此AB=A1B+AA1=18+63+1.529.89(m).即烟囱的高约为29.89 m.11.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30,45,60,且AB=BC=60 m,求建筑物的高度.解设建筑物的高度为h,由题图知,PA=2h,PB=2h,PC=233h.在PBA和PBC中,分别由余弦定理,得cosPBA=602+2h2-4h22602h,cosPBC=602+2h2-43h226
8、02h.PBA+PBC=180,cosPBA+cosPBC=0.由,解得h=306或h=-306(舍去),即建筑物的高度为306 m.能力提升1.如图,从气球A上测得其正前下方的河流两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高度AD是60 m,则河流的宽度BC是()A.240(3-1)mB.180(2-1)mC.120(3-1)mD.30(3+1)m解析由题意知,在RtADC中,C=30,AD=60 m,AC=120 m.在ABC中,BAC=75-30=45,ABC=180-45-30=105,由正弦定理,得BC=ACsinBACsinABC=120226+24=120(3-1)m.答案C2
9、.起重机装置示意图如图所示,已知支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=519 m,起吊的货物与岸的距离AD为()A.30 mB.1532 mC.153 mD.45 m解析在ABC中,AC=15 m,AB=519 m,BC=10 m,由余弦定理得cosACB=AC2+BC2-AB22ACBC=152+102-(519)221510=-12,sinACB=32.又ACB+ACD=180,sinACD=sinACB=32.在RtADC中,AD=ACsinACD=1532=1532 m.答案B3.如图所示,要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两个观测点,且在C,D
10、两点测得塔顶的仰角分别为45,30,在水平面上测得BCD=120,C,D两地相距500 m,则电视塔AB的高度是()A.1002 mB.400 mC.2003 mD.500 m解析设AB=x,在RtABC中,ACB=45,BC=AB=x.在RtABD中,ADB=30,BD=3x.在BCD中,BCD=120,CD=500 m,由余弦定理得(3x)2=x2+5002-2500xcos 120,解得x=500 m.答案D4.如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45,与观测站A距离202海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北(045)的C处,且cos
11、=45.已知A,C两处的距离为10海里,则该货船的船速为()A.485海里/时B.385海里/时C.27海里/时D.46海里/时解析因为cos =45,045,所以sin =35,cos(45-)=2245+2235=7210.在ABC中,BC2=(202)2+102-2202107210=340,所以BC=285,该货船的船速为28512=485海里/时.答案A5.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使点C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60,再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D,测得BDC=45,若AB平面BCD,则塔AB的高是m.解析在BCD中,CD=10 m,
12、BDC=45,BCD=15+90=105,DBC=30.由正弦定理得,BCsin45=CDsin30,BC=CDsin45sin30=102(m).在RtABC中,tan 60=ABBC,AB=BCtan 60=106(m).答案1066.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60方向的B处,两船相距a n mile,乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船的3倍,则甲船应沿方向行驶才能追上乙船;追上时甲船行驶了 n mile.解析如图所示,设在C处甲船追上乙船,乙船到C处用的时间为t,乙船的速度为v,则BC=tv,AC=3tv,又B=120,则由正弦定理BCsinCAB=ACsinB,得1sinCA
13、B=3sin120,sinCAB=12,CAB=30,甲船应沿北偏东30方向行驶.又ACB=180-120-30=30,BC=AB=a n mile,AC=AB2+BC2-2ABBCcos120=a2+a2-2a2-12=3a(n mile).答案北偏东303a7.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75,距离为126 n mile;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30,距离为83 n mile;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在其东偏南30,求:(1)A处与D处之间的距离;(2)灯塔C与D处之间的距离.解由题意,画出示意图.(1)在ABD中,由已知得ADB=60,B=45,AB=126 n
14、 mile.由正弦定理得AD=ABsin60sin 45=24(n mile).(2)在ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2ADACcos 30=242+(83)2-2248332=192,故CD=83(n mile).答:(1)A处与D处之间的距离为24 n mile;(2)灯塔C与D处之间的距离为83 n mile.8.在某次地震时,震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座城市B,C,D,三座城市在同一直线上.已知B,C两市相距20 km,C,D两市相距34 km,C市在B,D两市之间,如图所示.某时刻C市感到地表震动,8 s后B市感到地表震动,20 s后D市感到地表震动.已知
15、震波在地表传播的速度为1.5 km/s,求震中A到B,C,D三市的距离.解由题意可知,在ABC中,AB-AC=1.58=12(km).在ACD中,AD-AC=1.520=30(km).设AC=x km,则AB=(12+x)km,AD=(30+x)km.在ABC中,cos ACB=x2+400-(12+x)240x=256-24x40x=32-3x5x.在ACD中,cos ACD=x2+1 156-(30+x)268x=256-60x68x=64-15x17x.B,C,D在同一直线上,cosACB=-cosACD,即32-3x5x=-64-15x17x,解得x=487.AB=1327 km,AD=2587 km.故震中A到B,C,D三市的距离分别为1327 km,487 km,2587 km.