1、平邑一中高60级实验部第二次三校区联合教研测试数学试题时间：120分钟 分值：150分 2021.10注意事项1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，正确粘贴条形码。2. 客观选择题答案须用铅笔把答题卡相应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。主观题答案须按题号在答题卡规定区域作答。一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1已知A（3，1），B（1，2），C（1，1），则过点C且与线段AB垂直的直线方程为（）A3x+2y50B3x2y10C2x3y+10D2x+3y502
2、若直线l1：ax2y60与直线l2：x(a1)ya210平行，则a()A2或1 B1 C2 D.3.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，CACC12CB，则直线BC1与直线A B1所成角的余弦值为()A B C D 4.已知三棱锥OABC中，OAOB，OBOC，OCOA，且OA1，OB2，OC2，则点A到直线BC的距离为()A B C D35已知a0，b0，直线l1：x+（a4）y+10，l2：2bx+y20，且l1l2，则的最小值为（）A2 B4 C D6过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()Ax2y50B2xy40Cx3y70Dx2y307在等腰直角三角形ABC中，AB
3、AC4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过ABC的重心，则AP等于（）A 2 B 1C D 8正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为_A B 3 C D 2二、 多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在 每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得2 分，有选错的得 0 分) 9在平面直角坐标系Oxy中，圆C的方程为x2y24x0.若直线yk(x1)上存在一点P，使过P所作的圆的
4、两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是()A1 B2 C0 D410下列说法错误的是()A“a1”是“直线a2xy10与直线xay20互相垂直”的充要条件B直线xsin y20的倾斜角的取值范围是C过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为D经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为xy2011已知实数x，y满足方程x2y24x10，则下列说法正确的是()Ayx的最大值为2Bx2y2的最大值为74C的最大值为Dxy的最大值为212如图(1)是一副直角三角板的示意图现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD，如图(2)所示，则下列结论中正确的是()A0B平面BCD的法向
5、量与平面ACD的法向量垂直C异面直线BC与AD所成的角为60D直线DC与平面ABC所成的角为30三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把 答案填在题中的横线上) 13若直角三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（5，1），B（1，1），C（2，m），则实数m的取值集合为 14在空间中，已知平面过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0，a)(a0)，如果平面与平面xOy的夹角为45，则a_.15如果圆的方程为x2y2kx2yk20，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为_16已知A(0,0，x)，B(1，2)，C(x，2)三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点
6、，且x2x4，则x_，与的夹角为_(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本题满分10分)直线l经过两直线l1：3x4y20和l2：2xy20的交点(1)若直线l与直线3xy10平行，求直线l的方程；(2)若点A(3,1)到直线l的距离为5，求直线l的方程18.（本题满分12分）如图，已知四边形ABCD为矩形，四边形ABEF为直角梯形，FAAB，ADAFFE1，AB2，ADBE.（1）求证：BEDE；(2)求点F到平面CBE的距离19.（本题满分12分)等腰直角ABC的直角为角C，且点C(0，1)，斜边AB所在的直
7、线方程为x2y80.(1)求ABC的面积；(2)求斜边AB中点D的坐标20. (本题满分12分)如图所示的几何体中，BEBC，EAAC，BC2，AC2，ACB45，ADBC，BC2AD(1)求证：AE平面ABCD(2)若ABE60，点F在EC上，且满足EF2FC，求平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值21(本题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，DAB60，ADP90，平面ADP平面ABCD，F为棱PD的中点(1)在棱AB上是否存在一点E，使得AF平面PCE？并说明理由；(2)当二面角DFCB的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角22.(本题满分12分
8、)在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆最小覆盖圆满足以下性质：线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆锐角ABC的最小覆盖圆就是其外接圆已知曲线W：x2y416，A(0，t)，B(4,0)，C(0,2)，D(4,0)为曲线W上不同的四点(1)求实数t的值及ABC的最小覆盖圆的方程(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程平邑一中实验部第二次调研测试数学答案1.D2B.3A4.B5D【解答】解：因为l1l2，所以2b+a40，即a+1+2b5因为a0，b0，所以a+10，2b0，所以， ，当且仅当，时，等号成立，故选：D6
9、A结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为，直线方程为y2(x1)，即x2y50.7C解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y4，ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0a4，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，4a），易得P关于y轴的对称点P2（a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k，故直线QR的方程为y（x+a），由于直线QR过ABC的重心（，），代入化简可得3a24a0，解得a，或a0（舍去），故P（，0），故AP声明：试题解析著作权
10、属所有，未经书面同意8则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)(2,2,0)，(2,2,0)，(2,0,4)，(2,0,4)，EFMN，BFAM，EFBFF，MNAMM.平面AMN平面EFBD设n(x，y，z)是平面AMN的法向量，则解得取z1，则x2，y2，得n(2，2,1)平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离(0,4,0)，平面AMN与平面EFBD间的距离d.二多选题：9ABC过P点作圆的两条切线，切点分别是A，B，依题意得，四边形PACB是正方形，又C：(x2)2y24，|PC|AC
11、|2，P点在以C(2,0)为圆心，2为半径的圆上其方程为(x2)2y28.依题意得，直线yk(x1)与圆(x2)2y28有公共点，2，解得k2802k2.故选项ABC正确10ACD当a0时，两直线方程分别为y1和x2，此时也满足直线相互垂直，故A说法错误；直线的斜率ksin ，则1k1，即1tan 1，则，故B说法正确；当x1x2或y1y2时，直线方程为xx1或yy1，此时直线方程不成立，故C说法错误；若直线过原点，则直线方程为yx，此时也满足条件，故D说法错误，故选ACD11AB对于A，设zyx，则yxz，z表示直线yxz的纵截距，当直线与圆(x2)2y23有公共点时，解得2z2，所以yx的
12、最大值为2，故A说法正确；对于B，x2y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2，所以x2y2的最大值为(2)274，故B说法正确；对于C，的几何意义是表示圆上的点与原点连线的斜率，则的最大值为tan 60，故C说法错误；对于D，设mxy，则yxm，m表示直线yxm的纵截距，当直线与圆(x2)2y23有公共点时，解得2m2，所以xy的最大值为2，故D说法错误故选AB12AD以B为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示设BD2，则B(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,2，0)，A(0，)，(2,0,0
13、)，(0，)，(0,2，0)，(2，)，(2,2，0)(2,0,0)(0，)0，A正确；易得平面BCD的一个法向量为n1(0,0，)，平面ACD的一个法向量为n2(，1,1)，n1n20，B错误；|cos，|，C错误；易得平面ABC的一个法向量为(2,0,0)，设直线DC与平面ABC所成的角为，则sin ，故D正确三填空题：13解：直角三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（5，1），B（1，1），C（2，m），若A为直角，则，（4，2）（3，m+1）12+2（m+1）0，m7若B为直角，则，（4，2）（1，m1）4+2（m1）0，m3若A为直角，则，（3，m+1）（1，1m）3+2（m+1）（1
14、m）0，求得m2综上可得，实数m的取值集合为7，2，2，3，故答案为：7，2，2，314平面xOy的一个法向量为n(0,0,1)设平面的法向量为u(x，y，z)，又(3,4,0)，(3,0，a)，则即即3x4yaz，取z1，则u.而cosn，u，又a0，a.15(0，1)r，当k0时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2y22y0，即x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)161由A，B，C，M四点共面可知x2x41，x1.A(0,0,1)，C(1，2)，(1，1)，(1，1)，cos，即与的夹角为.四 解答题：17解(1)由得所以交点坐标为(2,2)，设直线l的方程为3xyc0(c1)
15、，把点(2,2)代入方程得c4，所以直线l的方程为3xy40.(2)由(1)知，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，此时点A(3,1)到直线l的距离为5，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x2)，即kxy2k20，则点A(3,1)到直线l的距离d5，解得k，所以直线l的方程为12x5y340.综上，直线l的方程为x2或12x5y340.18.解四边形ABCD为矩形，ADAB，又ADBE，ABBEB，AD平面ABEF，又AD平面ABCD，平面ABCD平面ABEF.FAAB，平面ABCD平面ABEFAB，FA平面ABCDFAAD(1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则
16、B(0,2,0)，C(1,2,0)，D(1,0,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，(0，1,1)，(1,1,1)，0(1)(1)1110，BEDE.(2)由(1)得(1,0,0)，(0，1,1)，(0,1,0)，设n(x，y，z)是平面CBE的法向量，则由得令y1，得z1，n(0,1,1)是平面CBE的一个法向量设点F到平面CBE的距离为d，则d.点F到平面CBE的距离为.19解(1)顶点C到斜边AB的距离d2，所以斜边AB2d4，故ABC的面积SABd4220.(2)由题意知，CDAB，又kAB，所以kCD2，所以直线CD的方程为y2x1，即2xy10，由解得所以点D的坐标为(2,3
17、)20.解(1)证明：在ABC中，BC2，AC2，ACB45，由余弦定理可得AB2BC2AC22BCACcos 454，所以AB2(负值舍去)，因为AC2AB2BC2，所以ABC是直角三角形，ABBC又BEBC，ABBEB，所以BC平面ABE.因为AE平面ABE，所以BCAE，因为EAAC，ACBCC，所以AE平面ABCD(2)由题易得EB2AB4，由(1)知，BC平面ABE，所以平面BEC平面ABE，如图，以B为原点，过点B且垂直于平面BEC的直线为z轴，BE，BC所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系Bxyz，则C(0,2,0)，E(4,0,0)，A(1,0，)，D(1,1，)，因为E
18、F2FC，所以F，易知(0,1,0)，设平面FAD的法向量为n(x，y，z)，则即令z，则x9，所以n(9,0，)由(1)知EA平面ABCD，所以(3,0，)为平面ABCD的一个法向量设平面FAD与平面ADC的夹角为，则cos ，所以平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值为.21解(1)在棱AB上存在点E，使得AF平面PCE，且E为棱AB的中点理由如下：如图，取PC的中点Q，连接EQ，FQ，由题意得，FQDC且FQCD，因为AECD且AECD，所以AEFQ且AEFQ.所以四边形AEQF为平行四边形所以AFEQ.又EQ平面PCE，AF平面PCE，所以AF平面PCE.(2)连接BD，DE.由题意知A
19、BD为正三角形，所以EDAB，即EDCD，又ADP90，所以PDAD，且平面ADP平面ABCD，平面ADP平面ABCDAD，所以PD平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设FDa，则由题意知F(0,0，a)，C(0,2,0)，B(，1,0)，则(0,2，a)，(，1,0)，设平面FBC的法向量为m(x，y，z)则令x1，则y，z，所以m，易知平面DFC的一个法向量n(1,0,0)，因为二面角DFCB的余弦值为，所以|cosm，n|，即，解得a1(负值舍去)因为PD平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，由题意知在Rt
20、PBD中，tanPBD1，所以PBD45，所以直线PB与平面ABCD所成的角为45.22.解(1)由题意，得t2，由于ABC为锐角三角形，其外接圆就是ABC的最小覆盖圆设ABC的外接圆方程为x2y2DxEyF0，则解得所以ABC的最小覆盖圆的方程为x2y23x40.(2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆，所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2y216.又因为|OA|OC|24(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2y216.(3)由题意知曲线W为中心对称图形设P(x0，y0)，则xy16.所以|OP|2xy(O为坐标原点)，且2y02.故|OP|2xy16yy，所以当y时，|OP|max，所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2y2.
