1、第4讲 万有引力与航天 教材回扣夯实基础知识点一 开普勒三定律的内容、公式定律内容图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是_，太阳处在_的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的_相等 开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的_跟它的公转周期的_的比值都相等a3T2k，k 是一个与行星无关的常量椭圆椭圆面积三次方二次方知识点二 万有引力定律1内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的乘积成_，与它们之间距离 r 的二次方成_2表达式FGm1m2r2
2、，G 为引力常量，G6.671011 Nm2/kg2.3适用条件(1)公式适用于_间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是_的距离正比反比质点两球心间知识点三 宇宙速度1三个宇宙速度第一宇宙速度(环绕速度)v1_ km/s，是人造卫星在地面附近绕地球做_运动的速度第二宇宙速度(脱离速度)v2_ km/s，使物体挣脱_引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度(逃逸速度)v3_ km/s，使物体挣脱_引力束缚的最小发射速度7.9匀速圆周11.2地球16.7太阳2.第一宇宙速度的理解：人造卫星的_环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度3
3、第一宇宙速度的计算方法(1)由 GMmR2 mv2R得 v_.(2)由 mgmv2R得 v_.最大GMRgR知识点四 经典时空观和相对论时空观1经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随_而改变的(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是_的2相对论时空观(1)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是_的(2)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是_的运动状态相同不同不变夯实双基1思考辨析(1)地球在近日点的速度大于在远日点的速度()(2)月球绕地球轨道半径的三次方与周期的二次方的比值等于地球绕太阳
4、轨道半径的三次方与周期的二次方的比值()(3)地面上，质量较小的物体之间没有万有引力作用()(4)第一宇宙速度是发射卫星的最小速度()(5)地球同步卫星轨道平面与赤道平面共面()(6)地球卫星轨道半径越大，加速度越小()2关于万有引力公式 FGm1m2r2，以下说法中正确的是()A公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B当两物体间的距离趋近于 O 时，万有引力趋近于无穷大C两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D公式中引力常量 G 的值是牛顿规定的C3人教版必修 2P48T3 改编火星的质量和半径分别约为地球的 110和12，地球的第一宇宙速度为 v，则火星的第一宇宙速度约为()
5、A.55 v B.5vC.2v D.22 vA4人教版必修 2P36T4(多选)天文学家哈雷曾经在 1682 年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的 18 倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现，后来哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星如图所示为哈雷彗星绕太阳运行的椭圆轨道，P 为近日点，Q 为远日点，M、N 为轨道短轴的两个端点若只考虑哈雷彗星和太阳之间的相互作用，则()A哈雷彗星的运行周期约为 76 年B哈雷彗星从 P 点运动到 M 点需要 19 年C哈雷彗星从 P 经 M 到 Q 阶段，速率逐渐减小D哈雷彗星从 P 经 M 到 Q 阶段，机械能逐渐减小解
6、析：设彗星的周期为 T1，地球的公转周期为 T2，这颗彗星轨道的半长轴 a1 约等于地球公转半径 R 的 18 倍，由开普勒第三定律a3T2k 得T1T2a1R3 18376，即 T176 年，A 正确；从 P 到 Q 过程中，需要克服引力做功，动能减小，即速度越来越小，所以从 P 到 M 过程中所需时间小于周期的四分之一，即小于 19 年，B 错误，C 正确；从 P 到 Q 过程中只有引力做功，机械能不变，D 错误答案：AC透析考点多维突破考点一 开普勒三定律的理解与应用1开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动2开普勒第三定律a3T2k 中，k 值只与中心天体的质量有
7、关，不同的中心天体 k 值不同但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间1 2017全国卷，19(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 P 经 M、Q 到 N 的运动过程中()A从 P 到 M 所用的时间等于T04B从 Q 到 N 阶段，机械能逐渐变大C从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小D从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功解析：由行星运动的对称性可知，从 P 经 M 到 Q 点的时间为12T0，根据开普勒第二定律可知，从 P 到 M 运动的速率大于从M
8、 到 Q 运动的速率，可知从 P 到 M 所用的时间小于14T0，选项 A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项 B 错误；根据开普勒第二定律可知，从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小，选项 C 正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项 D 正确答案：CD练 1 2016全国卷，14关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是()A开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D开普勒总结出了行星运动的规律，发
9、现了万有引力定律解析：开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项 A 错误，选项 B 正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项 C 错误；牛顿发现了万有引力定律，选项 D 错误答案：B练 2(多选)如图所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆设卫星、月球绕地球运行周期分别为 T 卫、T 月，地球自转周期为 T 地，则()AT 卫T 月CT 卫r 同r 卫，由开普勒第三定律r3T2k，可知，T 月T 同T 卫，又同步卫星的周期 T 同T 地，故有 T 月T地T 卫，选项 A、C 正确答案：AC练 3 2019江苏卷，4
10、1970 年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为 v1、v2，近地点到地心的距离为 r，地球质量为 M，引力常量为 G.则()Av1v2，v1GMr Bv1v2，v1GMrCv1v2，v1GMr Dv1GMr解析：本题考查了万有引力定律的应用以及能量等知识，意在考查考生的综合分析能力“东方红一号”环绕地球在椭圆轨道上运行的过程中，只有万有引力做功，机械能守恒，其由近地点向远地点运动时，万有引力做负功，引力势能增加，动能减小，因此 v1v2；又“东方红一号”离开近地点开始做离心运动，则由离心运动的条件可知G
11、Mmr2 GMr，B 正确，ACD 错误答案：B考点二 万有引力定律的理解及应用1万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力 F 表现为两个效果：一是重力 mg，二是提供物体随地球自转的向心力 F 向，如图所示(1)在赤道上：GMmR2 mg1m2R.(2)在两极上：GMmR2 mg2.(3)在一般位置：万有引力 GMmR2 等于重力 mg 与向心力 F 向的矢量和越靠近南北两极 g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR2 mg.2星体表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度 g(不考虑地球自转)：mgGmMR2，得 gGMR2，即 GMg
12、R2.(2)在地球上空距离地心 rRh 处的重力加速度为 gmg GMmRh2，得 g GMRh2所以 gR2Rh2g2(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间 t 小球落回原地若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间 5t 小球落回原处已知该星球的半径与地球半径之比为 R 星:R 地1:4，地球表面的重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为 g，不计空气阻力则()Ag:g1:5 Bg:g5:2CM 星:M 地1:20 DM 星:M 地1:80解析：设小球的初速度为 v0，由竖直上抛运动的对称性，知竖直上抛的小球在空中运动的时间 t2v0g，因此得g
13、g t5t15，A 项正确，B 项错误；由 GMmR2 mg 得 MgR2G，所以M星M地gR2星gR2地15142 180，C 项错误，D 项正确答案：AD练 4 2020潍坊模拟据报道，科学家们在距离地球 20 万光年外发现了首颗系外“宜居”行星假设该行星质量约为地球质量的 6.4 倍，半径约为地球半径的 2 倍那么，一个在地球表面能举起 64 kg 物体的人在这个行星表面能举起的物体的质量约为(地球表面的重力加速度 g10 m/s2)()A40 kg B50 kgC60 kg D30 kg解析：在星球表面，根据万有引力近似等于重力，得GMmR2 mg，则 gGMR2.因为行星的质量约为地
14、球质量的 6.4 倍，其半径约为地球半径的 2 倍，则行星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的 1.6 倍；而人的举力可认为是不变的，则人在行星表面能举起的重物质量约为 mm01.6641.6 kg40 kg，故 A 项正确答案：A练 5 若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为7.已知该行星质量约为地球的 7 倍，地球的半径为 R.由此可知，该行星的半径约为()A.12R B.72RC2R D.72 R解析：由平抛运动规律知，在行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们经历的时间之比即
15、为在水平方向运动的距离之比，所以t1t2 27；竖直方向上物体做自由落体运动，重力加速度分别为 g1 和 g2，因此g1g22h/t212h/t22t22t2174.设行星和地球的质量分别为 7M 和 M，行星的半径为 r，则有G7Mmr2 mg1GMmR2 mg2解得 r2R因此 A、B、D 错，C 对答案：C考点三 天体质量和密度的估算1重力加速度法：利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R.(1)由 GMmR2 mg 得天体质量 MgR2G.(2)天体密度 MV M43R3 3g4GR.2天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径 r和周期 T.(1)由 GMmr2 m42rT2
16、 得天体的质量 M42r3GT2.(2)若已知天体的半径 R，则天体的密度MV M43R3 3r3GT2R3.(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 3GT2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度3 2018全国卷，162018 年 2 月，我国 500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J03180253”，其自转周期 T5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.671011 Nm2/kg2.以周期 T 稳定自转的星体的密度最小值约为()A5109 kg/m3 B51012 kg/m3
17、C51015 kg/m3D51018 kg/m3解析：脉冲星自转，脉冲星边缘的“部分”所受到的万有引力恰好等其做圆周运动的向心力，则有 GMmr2 mr42T2，又知 M 43 r3，整 理 得 密度 3GT2 33.146.6710115.191032kg/m35.21015 kg/m3.故 C 正确答案：C练 6 如图所示，地球绕着太阳公转，而月球又绕着地球转动，它们的运动均可近似看成匀速圆周运动，如果要通过观测求得地球的质量，需要测量下列哪些量()A地球绕太阳公转的半径和周期B月球绕地球转动的半径和周期C地球的半径和地球绕太阳公转的周期D地球的半径和月球绕地球转动的周期解析：由万有引力提
18、供向心力可得 GMmr2 m2T2r，解得 M42r3GT2，要求出地球质量，需要知道月球绕地球转动的轨道半径和周期，选项 B 正确，A、C、D 错误答案：B练 7(多选)北京时间 2019 年 4 月 10 日 21 时，人类首张黑洞照片面世，如图所示理论研究表明，黑洞是宇宙空间内存在的一种密度极大体积极小的天体，黑洞的引力很大，连光都无法逃逸，有理论认为黑洞是由大恒星“死亡”后演化而形成的已知某恒星的质量为 M 半径为 R，引力常量为 G，真空中的光速为 C，黑洞的逃逸速度为其第一宇宙速度 2倍则下列说法正确的是()A该恒星的平均密度为 3M4R3B该恒星表面的重力加速度为GMRC若该恒星
19、演化为黑洞，则其半径的最大值为GMC2(假设该恒星质量不变)D若该恒星演化为黑洞，则其半径的最大值为2GMC2(假设该恒星质量不变)解析：该恒星的平均密度为 MV M43R3 3M4R3，选项 A 正确；由 GmMR2 mg，解得 gGMR2，选项 B 错误；由 GmMR2 mv2R，C 2v，解得 R2GMC2，选项 C 错误，D 正确答案：AD考点四 卫星运行参量的比较与计算考向 人造卫星运行参量的比较与计算1物理量随轨道半径变化的规律GMmr2 mananGMr2 an1r2mv2r vGMr v 1rm2rGMr3 1r3m42T2 rT42r3GM T r3当 r 增大时v减小减小T
20、增大an减小2卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心4 2019全国卷，15金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为 a 金、a 地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为 v 金、v 地、v 火已知它们的轨道半径 R 金R 地a 地a 火 Ba 火a 地a 金Cv 地v 火v 金 Dv 火v 地v 金解析：本题考查万有引力定律和匀速圆周运动，体现了物理模型建构、科学推理等核心素养行星
21、绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即 GMmR2ma 向mv2R，解得 a 向GMR2，vGMR，由于 R 金R 地a 地a 火，v 金v 地v 火，选项 A 正确答案：A5 2018全国卷，15(多选)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星 P，其轨道半径约为地球半径的 16 倍；另一地球卫星 Q 的轨道半径约为地球半径的 4 倍P 与 Q 的周期之比约为()A2:1 B4:1C8:1 D16:1解析：由 GMmr2 mr42T2 知，T2r342GM，则两卫星T2PT2Qr3Pr3Q.因为 rP:rQ4:1，故 TP:TQ8:1.答案：C考向 宇宙速度的计算6 已知月球质量与
22、地球质量之比约为 1:80，月球半径与地球半径之比约为 1:4，则月球上的第一宇宙速度与地球上的第一宇宙速度之比最接近()A9:2 B2:9C18:1 D1:18解析：由 GMmR2 mv2R得 vGMR，因此月球上的第一宇宙速度与地球上的第一宇宙速度之比v月v地M月M地R地R月29，B 正确答案：B考向 同步卫星的有关问题7 2019北京卷，182019 年 5 月 17 日，我国成功发射第 45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)该卫星()A入轨后可以位于北京正上方B入轨后的速度大于第一宇宙速度C发射速度大于第二宇宙速度D若发射到近地圆轨道所需能量较少解析：因地球静止轨道
23、卫星(同步卫星)的运行轨道在地球赤道正上方，故该北斗导航卫星入轨后不能位于北京正上方，选项A 错误；第一宇宙速度在数值上等于地球近地卫星的线速度，由万有引力提供向心力GMmr2 mv2r，可得 vGMr，同步卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，则同步卫星入轨后的速度小于第一宇宙速度，故选项 B 错误；地球卫星的发射速度应大于等于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，选项 C 错误；近地卫星的高度小，发射时所需的能量较少，故选项 D 正确答案：D练 8 2017全国卷，142017 年 4 月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨
24、道(可视为圆轨道)运行与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的()A周期变大 B速率变大C动能变大 D向心加速度变大解析：天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道运行，根据 GMmr2 mamv2r mr42T2 可知，组合体运行的向心加速度、速率、周期不变，质量变大，则动能变大，选项 C 正确答案：C练 9 2019天津卷，12018 年 12 月 8 日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”已知月球的质量为 M、半径为 R，探测器的质量为 m，引力常量为 G，嫦娥四号探测器
25、围绕月球做半径为 r 的匀速圆周运动时，探测器的()A周期为42r3GMB动能为GMm2RC角速度为Gmr3D向心加速度为GMR2解析：本题为天体运动中的人造卫星运动问题，考查了考生应用万有引力定律和圆周运动知识进行分析推理的能力物理核心素养中的模型建构、运动与相互作用观念等要素在本题中均有体现题目以嫦娥四号探测器的发射与运行为背景，厚植着深深的爱国情怀探测器围绕月球做匀速圆周运动，月球对探测器的引力充当向心力，则 GMmr2 mv2r m2rm42T2 rma 向，解得 a 向GMr2，T2r3GM，GMr3，Ek12mv2GMm2r，故 A 项正确答案：A练 10 2019浙江卷，7某颗北
26、斗导航卫星属于地球静止轨道卫星(即卫星相对于地面静止)则此卫星的()A线速度大于第一宇宙速度B周期小于同步卫星的周期C角速度大于月球绕地球运行的角速度D向心加速度大于地面的重力加速度解析：第一宇宙速度 7.9 km/s 是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，故此卫星的线速度小于第一宇宙速度，A 错误；根据题意，该卫星是一颗同步卫星，周期等于同步卫星的周期，故B 错误；卫星绕地球做圆周运动时，万有引力提供向心力，根据GMmr2 m2r 可知，绕行半径越小，角速度越大，故此卫星的角速度大于月球绕地球运行的角速度，C 正确；根据 anGMr2 可知，绕行半径越大，向心加速度越小，此卫星的向心加速度小
27、于地面的重力加速度，D 错误答案：C练 11 2020日照一模2016 年 11 月 22 日，我国成功发射了天链一号 04 星天链一号 04 星是我国发射的第 4 颗地球同步卫星，它与天链一号 02 星、03 星实现组网运行，为我国神舟飞船、空间实验室天宫二号提供数据中继与测控服务如图所示，1 是天宫二号绕地球稳定运行的轨道，2 是天链一号绕地球稳定运行的轨道下列说法正确的是()A天链一号 04 星的最小发射速度是 11.2 km/sB天链一号 04 星的运行速度小于天宫二号的运行速度C为了便于测控，天链一号 04 星相对于地面静止于北京飞控中心的正上方D由于技术进步，天链一号 04 星运行
28、速度可能大于天链一号 02 星的运行速度解析：由于第一宇宙速度是人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动时的最大速度，同时又是最小的发射速度，可知卫星的发射速度大于第一宇宙速度 7.9 km/s.若卫星的发射速度大于第二宇宙速度 11.2 km/s，则卫星会脱离地球束缚，所以卫星的发射速度要介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，故 A 错误；由万有引力提供向心力得：GMmr2mv2r 可得：vGMr，可知轨道半径比较大的天链一号 04 星的运行速度小于天宫二号的运行速度，故 B 正确；天链一号 04 星位于赤道正上方，不可能位于北京飞控中心的正上方，故 C 错误；根据题意，天链一号 04 星与天链一号 02 星，轨道半径相同，所以天链一号 04星与天链一号 02 星具有相同的速度，故 D 错误答案：B