1、题组层级快练(五十七)(第二次作业)1(2015皖南十校联考)把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD平面CBD，则异面直线AD，BC所成的角为()A120B30C90 D60答案D解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0,0)，B(0，0)，C(0,0，)，D(0，0)，(，0)，(0，)|2，|2，2.cos，.异面直线AD，BC所成的角为60.2(2015湖北黄冈中学模拟)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为()A. B.C. D.答案B解析由题意设棱长为2，如图所示，A1在
2、底面ABC内的射影为ABC的中心D，连接AD，则DA.由勾股定理得A1D.过B1作B1E底面ABC于点E，连接AE，则B1E.如图作A1SAB于中点S，易得A1S，所以AB12，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值sinB1AE.3(2015湖南长沙一模)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为_答案解析以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则A1(0,0,1)，E(1,0，)，F(，1,0)，D1(0,1,1)(1,0，)，(0,1,0)设平面A1D1E的一个法向量为n(x，
3、y，z)，则即令z2，则x1.n(1,0,2)又(，1，1)，点F到平面A1D1E的距离为d.4(2015河南洛阳模拟)如图(1)所示，在ABC中，BC3，AC6，C90，且DEBC，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1DCD，如图(2)所示(1)求证：BC平面A1DC；(2)若CD2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)证明：DEAD，DEBC，BCAD，BCA1D.又BCCD，A1DCDD，BC平面A1DC.(2)以D为原点，分别以，为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz.在直角梯形CDEB中，过E作EFBC，垂足为F，则EF2，BF1，BC3.
4、B(3,0，2)，E(2,0,0)，C(0,0，2)，A1(0,4,0)(1,0,2)，(0,4,2)，(3,4,2)设平面A1BC的法向量为m(x，y，z)，则解得令y1，则m(0,1，2)设BE与平面A1BC所成角为，则sin.5(2014河北开滦二中月考)如图所示，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是正方形，PDAB2，E为PC中点(1)求证：DE平面PCB；(2)求点C到平面DEB的距离；(3)求二面角EBDP的余弦值答案(1)略(2)(3)解析(1)证明：PD平面ABCD，PDBC.又正方形ABCD中，CDBC，PDCDD，BC平面PCD.DE平面PCD，BCDE.
5、PDCD，E是PC的中点，DEPC.又PCBCC，DE平面PCB.(2)如图所示，过点C作CMBE于点M，由(1)知平面DEB平面PCB，平面DEB平面PCBBE，CM平面DEB.线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离PDABCD2，PDC90，PC2，EC，BC2.BE.CM.(3)以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)，E(0,1,1)，(2,2,0)，(0,1,1)设平面BDE的法向量为n1(x，y，z)，则令z1，得y1，x1.平面BDE的一个法向量为n1(1，1,1)又C(0
6、,2,0)，A(2,0,0)，(2,2,0)，且AC平面PDB，平面PDB的一个法向量为n2(1，1,0)设二面角EBDP的平面角为，则cos.二面角EBDP的余弦值为.6(2014石家庄质检)四棱锥ABCDE的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形(1)若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BFCM，请说明理由；(2)若平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45.求直线AD与平面ABE所成角的正弦值答案(1)总有BFCM(2)解析(1)由俯视图可知平面ABC平面EBCD.BC2，O为BC中点，BE1，CD2.ABC为等边三角形，F为AC中点，BFAC.又平面
7、ABC平面EBCD，且DCBC，DC平面ABC，DCBF.又ACCDC，BF平面ACD.BFCM.(2)以O为原点，为x轴，为z轴建系B(1,0,0)，C(1,0,0)，E(1,1,0)，D(1,2,0)设A(0,0，a)，由题意可知平面ABC的法向量为(0,1,0)设平面ADE法向量n(x，y，z)(2,1,0)，(1，1，a)，令x1，y2，z.n(1，2，)，解得a.(1,2，)，(0,1,0)，(1，1，)设平面ABE的法向量为m(x1，y1，z1)，令z11，m(，0,1)设AD与平面ABE所成角为，则有sin|cos，m|.直线AD与平面ABE所成角的正弦值为.7(2014浙江理)
8、如图所示，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，ABCD2，DEBE1，AC.(1)证明：DE平面ACD；(2)求二面角BADE的大小答案(1)略(2)解析(1)在直角梯形BCDE中，由DEBE1，CD2，得BDBC.由AC，AB2，得AB2AC2BC2，即ACBC.又平面ABC平面BCDE，从而AC平面BCDE.所以ACDE.又DEDC，且ACDCC，从而DE平面ACD.(2)方法一：作BFAD，与AD交于点F.过点F作FGDE，与AE交于点G，连接BG.由(1)知DEAD，则FGAD.所以BFG是二面角BADE的平面角在直角梯形BCDE中，由CD2BC2BD2，得
9、BDBC.又平面ABC平面BCDE，得BD平面ABC，从而BDAB.由于AC平面BCDE，得ACCD.在RtACD中，由DC2，AC，得AD.在RtAED中，由ED1，AD，得AE.在RtABD中，由BD，AB2，AD，得BF，AFAD.从而GF.在ABE，ABG中，利用余弦定理分别可得cosBAE，BG.在BFG中，cosBFG.所以BFG，即二面角BADE的大小是.方法二：以D为原点，分别以射线DE，DC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示由题意知各点坐标如下：D(0,0,0)，E(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,2，)，B(1,1,0)设平面ADE的法向量为m
10、(x1，y1，z1)，平面ABD的法向量为n(x2，y2，z2)可算得(0，2，)，(1，2，)，(1,1,0)由得可取m(0,1，)由得可取n(1，1，)于是|cosm，n|.由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角BADE的大小是.8.如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的余弦值；(3)是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由答案(1)略(2)(3)存在点E解析方法一：(1)PA底面ABC，PABC.又BCA90，A
11、CBC，BC平面PAC.(2)D为PB的中点，DEBC，DEBC.又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角PA底面ABC，PAAB.又PAAB，ABP为等腰直角三角形ADAB.在RtABC中，ABC60.BCAB.RtADE中，sinDAE.cosDAE.(3)DEBC，又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC.又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE.AEP为二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90.在棱PC上存在一点E，使得AEPC.这时，AEP90.故存在点E使得二面角ADEP是直二面角方法二：如图所示，
12、以A为原点建立空间直角坐标系Axyz.设PAa，由已知可得A(0,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，P(0,0，a)(1)(0,0，a)，(a,0,0)，0，BCAP.又BCA90，BCAC.又APACA，BC平面PAC.(2)D为PB的中点，DEBC，E为PC的中点D(a，a，a)，E(0，a，a)又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角(a，a，a)，(0，a，a)，cosDAE.(3)同方法一1空间四点A，B，C，D中，每两点所连线的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为()A.aB.aC.a
13、 Da答案B解析易知，以A，B，C，D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，如右图所示，取P，Q分别为AB，CD的中点，因为AQBQa，所以PQAB.同理可证PQCD，故线段PQ的长为P，Q两点间的最短距离在RtAPQ中，PQa.故应选B.2在直角坐标系中，A(2,3)，B(3，2)，沿x轴把直角坐标系折成120的二面角，则AB的长度为()A. B2C3 D4答案B解析设A，B在x轴上的射影分别为C，D，则AC3，BD2，CD5，又，所夹的角为60，易求得|2.3如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE
14、和FD1所成的角的余弦值等于()A. B.C. D.答案B解析本题考查空间向量的运算设正方体的边长为2，建立如右图所示的坐标系，O(1,1,0)，E(0,2,1)，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，(1,0,2)，(1,1,1)cos，.4.如图所示，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小答案(1)45(2)30解析如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz.则(1,0,0)，(0,0,1)连接BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m,1)(m0)，由已知，6
15、0，得|cos，可得2m.解得m，所以(，1)(1)因为cos，所以，45，即DP与CC所成的角为45.(2)ABCDABCD为正方体，CD平面AD.为平面AD的一个法向量，(0，1,0)又(，1)，cos，.DP与平面AADD所成角为30.5如图所示，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB，AD2，BC4，AA12，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点(1)证明：EFA1D1；BA1平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)证明：因为C1B1A1D1，C1B1平面ADD1A1，所以C1B
16、1平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF平面A1D1DAEF，所以C1B1EF，所以A1D1EF.因为BB1平面A1B1C1D1，所以BB1B1C1.又因为B1C1B1A1，所以B1C1平面ABB1A1.所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tanA1B1FtanAA1B，即A1B1FAA1B，故BA1B1F.又因为B1C1B1FB1，所以BA1平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连接C1H.由(1)知BA1平面B1C1EF，所以BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角在矩形AA1B1B中，AB，AA12，得BH.在直角BHC1中，BC12，BH，得sin
17、BC1H.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.6(2013新课标全国理)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值答案(1)略(2)解析(1)连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点又D是AB的中点，连接DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCBAB，得ACBC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(
18、1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m是平面A1CE的法向量，则可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值为.7(2014辽宁理)如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点(1)求证：EFBC；(2)求二面角EBFC的正弦值解析(1)方法一：如图(1)，过E作EOBC，垂足为O，连接OF.由题意得ABCDBC，可证出EOCFOC.所以EOCFOC，即FOBC.又EOBC，EOFOO，因此BC平面EFO.又EF
19、平面EFO，所以EFBC.方法二：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图(2)所示的空间直角坐标系，易得B(0,0,0)，A(0，1，)，D(，1,0)，C(0,2,0)，因而E，F，所以，(0,2,0)，因此0.从而，所以EFBC.(2)方法一：如图(1)，过O作OGBF，垂足为G，连接EG.由平面ABC平面BDC，从而EO平面BDC.又OGBF，由三垂线定理知EGBF.因此EGO为二面角EBFC的平面角在EOC中，EOECBCcos30，由BGOBFC知，OGFC.因此tanEGO2，从而sinEGO，即二面角EBFC的正弦值为.方法二：如图(2)，平面BFC的一个法向量为n1(0,0,1)设平面BEF的法向量为n2(x，y，z)，又，由得其中一个n2(1，1)设二面角EBFC的大小为，且由题意知为锐角，则cos|cosn1，n2|.因此sin，即所求二面角的正弦值为.