1、三垂线定理一、 基础知识1、斜线长定理从平面外一点所引的垂线段和斜线段中射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；相等的两条斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短2、直线与平面所成的角一条直线若是平面的斜线，那么它和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与平面所成的角。特别地，若这条直线是平面的垂线，那么这条直线与平面所成的角是直角;如果这条直线平行于这个平面,那么直线与平面所成的角是。结论：斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。3、三垂线定理及逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线在这个平面内的射影
2、垂直，那么它也和这条斜线垂直。逆定理：在平面内的一条直线和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直。其主要作用有：证明问题：如线线、线面、面面垂直的证明；计算问题：如求空间一点到平面内某一直线的距离；求两平行直线间的距离。求作二面角平面角及其计算。二、 题型剖析：例1、如图，直线AB与直二面角的两个半平面分别交于A、B两点，且A、B，如果直线AB与所成的角分别是，则的取值范围是 。简解：AC于C，BD于D，则， ,均为锐角,故例2、四面体ABCS中，SB，SA，SC两两垂直，M为AB的中点，求BC与平面SAB所成的角；SC与平面ABC所成角的正弦值。解：（1）,平面S
3、AB，故SB是斜线BC（在平面SAB）的射影,是直线BC与平面SAB所成的角（2）中，M是AB中点,又，平面SCM，作于H，则，故平面ABC所以为SC与平面ABC所成的角，其正弦值为。例3、已知三棱柱的侧棱与底面成角，底面是等边三角形，侧面是菱形且与底面垂直。求证：证明：就是侧棱与底面ABC所成的角又是菱形，是中点又是正三角形，思维点拨：利用三垂线定理是证明两异面直线垂直的常用方法。例4、如图：三棱锥中，侧面VBC且H是的重心，BE是VC边上的高（1）求证：（2）若二面角的大小是，求VC与平面ABC所成角的大小。证明：（1）（三垂线定理）（2）由(1)得就是二面角的平面角,又AB平面VCD所以
4、VC在平面ABC内的射影CD, 就是VC与平面ABC所成角在Rt中，得VC与平面ABC成角练习：P352变式，见课本。例5：如图，P 是ABC所在平面外一点，且PA平面ABC。若O和Q分别是ABC和PBC的垂心，试证：OQ平面PBC。证明： O是ABC的垂心，BCAE。 PA平面ABC，根据三垂线定理得BCPE。BC平面PAE。Q是PBC的垂心，故Q在PE上，则OQ平面PAE，OQBC。PA平面ABC，BF平面ABC，BFPA，又O是ABC的垂心，BFAC，故BF平面PAC。因而FM是BM在平面PAC内的射影。因为BMPC，据三垂线定理的逆定理，FMPC，从而PC平面BFM。又OQ平面BFM，
5、所以OQPC。 综上知 OQBC，OQPC，所以OQ平面PBC。 思维点拨：此题涉及直线与平面垂直，需用三垂线定理及逆定理。例6、A是BCD所在平面外一点，ABD=ACD，AB=AC，E是BC的中点，求证：（1）ADBC（2）A点在平面BCD内的射影在BCD外。（见成才之路P352例4）证明：（1）因为AB=AC，E是BC中点，所以BCAE，在ABD、ACD中， ABD=ACD=，AB=AC，AD=AD，所以ABDACD，于是BD=DC，因为E是BC的中点，所以BCED，由BCAE，BCED，AEED=E，所以BC平面AED，因为AD平面ADE，所以ADBC（2）因为，所以，所以是钝角，因为A点的射影在直线DE上，所以结论成立。三、 小结三垂线定理及逆定理的应用。四、作业ex7,8 ex7,8
