1、第7讲 二次函数的图象和性质回顾过去1二次函数的图象与解析式二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)3交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题【例1】已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式解：二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2又顶点在直线yx1上，
2、所以，2x1，x1顶点坐标是（1，2）设该二次函数的解析式为，二次函数的图像经过点（3，1），解得a2二次函数的解析式为，即y2x28x7说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题【例2】 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式解法一：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0
3、)，可设二次函数为ya(x3) (x1) (a0)，展开，得 yax22ax3a， 顶点的纵坐标为 ，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，|4a|2，即a所以，二次函数的表达式为y，或y分析二：由于二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式解法二：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，对称轴为直线x1又顶点到x轴的距离为2，顶点的纵坐标为2，或2于是可设二次函数为ya(x1)22，或ya(x1)22，
4、由于函数图象过点(1，0)，0a(11)22，或0a(11)22a，或a所以，所求的二次函数为y(x1)22，或y(x1)22说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题【例3】 已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式解：设该二次函数为yax2bxc(a0)由函数图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得 解得 a2，b12，c8所以，所求的二次函数为y2x212x8思考：通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数
5、的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？ 1选择题:（1）函数yx2x1图象与x轴的交点个数是 （ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定 （2）函数y(x1)22的顶点坐标是 （ ） （A）(1，2) （B）(1，2) （C）(1，2) （D）(1，2)2填空：（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为ya (a0) （2）二次函数yx2+2x1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 3根据下列条件，求二次函数的解析式（1）图象经过点(1，2)，(0，3)，(1，6)； （2）当x3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（
6、3）函数图象与x轴交于两点(1，0)和(1，0)，并与y轴交于(0，2)2 二次函数的最值二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础在初中阶段大家已经知道：当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图象，利用数形结合的思想方法解决问题【例1】当时，求函数的最大值和最小值分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值 解：方法一：作出函数的图象当时，当时，方法二：配方法当时，当时，【例2】当时，求函数的最大值和最小值解：方法一：作出函数的图
7、象当时，当时，方法二：配方法，当时，当时，说明：由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异下面给出一些常见情况：【例3】当时，求函数的取值范围解：方法一：作出函数在内的图象可以看出：当时，无最大值所以，当时，函数的取值范围是方法二：，当时，无最大值所以，当时，函数的取值范围是【例4】当时，求函数的最小值(其中为常数)分析：由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置解：函数的对称轴为画出其草图(1) 当对称轴在
8、所给范围左侧即时：当时，；(2) 当对称轴在所给范围之间即时：当时，；(3) 当对称轴在所给范围右侧即时：当时，综上所述：【例5】当时，求函数的最小值(其中为常数)分析：由于对称轴随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置解：函数的对称轴为(1) 当对称轴在所给范围左侧即时：当时，；(2) 当对称轴在所给范围之间即，即时，当，； (3) 当对称轴在所给范围右侧即时，当时，综上所述：1抛物线，当= _ 时，图象的顶点在轴上；当= _ 时，图象的顶点在轴上；当= _ 时，图象过原点2用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _ 3求下列二次函数的最值：(1) ；
9、(2) 4求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值5对于函数，当时，求的取值范围6求函数的最大值和最小值7已知关于的函数，当取何值时，的最小值为0？8已知关于的函数在上(1) 当时，求函数的最大值和最小值；(2) 当为实数时，求函数的最大值9函数在上的最大值为3，最小值为2，求的取值范围10设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求11已知函数在上的最大值为4，求的值12求关于的二次函数在上的最大值(为常数)答案14 14或2， 23(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值，无最小值4当时，；当时，56当时，；当或1时，7当时，8(1) 当时，；当时， (2) 当时，；当时，91011或12当时，此时；当时，此时