1、课后限时集训(三十九)等比数列及其前n项和建议用时：40分钟一、选择题1等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于()A24 B0 C12 D24A由x,3x3,6x6成等比数列，知(3x3)2x(6x6)，解得x3或x1(舍去)所以此等比数列的前三项为3，6，12.故第四项为24，选A2已知在等比数列an中，a37，前三项之和S321，则公比q的值是()A1 BC1或 D1或C当q1时，a37，S321，符合题意；当q1时，得q.综上，q的值是1或，故选C3等比数列an的前n项和为Sn32n1r，则r的值为()A B C DB当n1时，a1S13r，当n2时，anSnSn132n132n332
2、n3(321)832n3832n2319n1，所以3r，即r，故选B4中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第五天走的路程为()A6里 B12里 C24里 D48里B记每天走的路程里数为an，由题意知an是公比为的等比数列，由S6378，得S6378，解得a1192，a519212(里)故选B5(2020全国卷)数列an中，a12，amnaman，若ak1ak2ak10215
3、25，则k()A2 B3 C4 D5C令m1，则由amnaman，得an1a1an，即a12，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，所以an2n，所以ak1ak2ak10ak(a1a2a10)2k2k1(2101)2152525(2101)，解得k4，故选C6(2020宝山区一模)已知数列an是等比数列，其前n项和为Sn，则下列结论正确的是()A若a1a20，则a1a30B若a1a30，则a1a20C若a10，则S2 0210D若a10，则S2 0200CA错误，如数列：1,2，4，.BD错误，如数列1，2,4，.C正确，当q0时，显然S2 0210；当0q1时，及q1时“1q”与“1q
4、2 021”同号，故S2 0210；当q1时，显然S2 0210，故C正确二、填空题7已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值 由题意得a1a25，b4，又b2与第一项的符号相同，所以b22.所以.8在14与之间插入n个数组成等比数列，若各项之和为，则此数列的项数为 5设此等比数列为am，公比为q，则该数列共有n2项14，q1.由等比数列的前n项和公式，得，解得q，an214，即，解得n3，该数列共有5项9各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n .30由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2nSn，S3nS2n，S4
5、nS3n，仍为等比数列设S2nx，则2，x2,14x成等比数列由(x2)22(14x)，解得x6或x4(舍去)Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，是首项为2，公比为2的等比数列又S3n14，S4n1422330.三、解答题10(2020全国卷)设等比数列an满足a1a24，a3a18.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为数列log3an的前n项和若SmSm1Sm3，求m.解(1)设an的公比为q，则ana1qn1.由已知得解得a11，q3.所以an的通项公式为an3n1.(2)由(1)知log3ann1.故Sn.由SmSm1Sm3得m(m1)(m1)m(m3)(m2)，即m25m6
6、0.解得m1(舍去)，m6.11设数列an中，a11，a2，an2an1an，令bnan1an(nN*)(1)证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：an2an1an，an2an1(an1an)，而bnan1an，bn1bn，又b1a2a1，bn是首项为，公比为的等比数列(2)由(1)知bn，anan1，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1133.1已知an为等比数列，数列bn满足b12，b25，且an(bn1bn)an1，则数列bn的前n项和为()A3n1 B3n1C DCb12，b25，且an(bn1bn)an1，a1(b2b1)a2，即a23a1，
7、又数列an为等比数列，数列an的公比为q3，bn1bn3，数列bn是首项为2，公差为3的等差数列，数列bn的前n项和为Sn2n3.故选C2.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为 由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有122n11 023，n10，最小正方形的边长为.3设数列an的前n项和为Sn，a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求a1a3a2
8、n1.解(1)S1a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列，Sn2n1，又当n2时，anSnSn12n2(21)2n2.当n1时，a11不适合上式an(2)a3，a5，a2n1是以2为首项，以4为公比的等比数列，a3a5a2n1.a1a3a2n11.1(2020宣城二模)将正整数排成如图所示：试问2 020是表中第 行的第 个数11997由题意得第n行有2n1个数，20222232425262728291 023，20222232425262728292102 047，2 020是表中第11行的第997个数2结构不良试题设Sn为等比数列an的前n项和，已知满足 ，求公比q以及aaa.从a2a5
9、32且a3a44，a11且S69S3，S2a31且S3a41这三组条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答解若选，则有a2a5a3a432，故有a3a432，a3a44，解得a34，a48，或a38，a44，即q2或q.因为a是以a为首项，q2为公比的等比数列，若q2，a11，此时aaa；或q，a132，此时aaa.若选，8，即q38，故q2.因为a是以a为首项，q2为公比的等比数列，所以aaa.若选，S2a31(*)，S3a41(*)令(*)式减(*)式，得a3a4a3，即a42a3，故q2.则(*)式中，a1a2a31，即a12a14a11，即a11.因为a是以a为首项，q2为公比的等比数列，所以aaa.