1、微专题(二十一)数列与其函数的交汇例2021大庆模拟设函数f(x)的定义域为R，满足f(x1)2f(x)，且x0,1)时，f(x)sin x.当x0，)时，将函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，a3，an，并记相应的极大值为b1，b2，b3，bn，则数列anbn的前9项和为_解析：函数f(x)的定义域为R，满足f(x1)2f(x)，则f(x)2f(x1)，且当x0,1)时，f(x)sin x，则当xn1，n)(nN*)，x(n1)0,1)，f(x)2f(x1)22f(x2)2n1fx(n1)2n1sinx(n1)，f(x)2n1cosx(n1)，当xn1，n)(nN*)时，x(n
2、1)0,1)，则x(n1)0，)，令f(x)0，可得x(n1)，解得xn，当n1x0，当nxn时，f(x)0.所以，函数yf(x)在xn处取得极大值，即bnf2n1，又ann，anbnn2n1，因此，数列anbn的前9项的和S9.答案：名师点评1本题把数列问题与函数的极值点相交汇，借用导数的工具性求出极值点，进而求得结果，考查考生的逻辑推理、数学运算等核心素养2破解数列与函数相交汇问题的关键：一是会利用导数法求函数的极值点；二是会利用等差数列的单调性，若公差大于0，则该数列单调递增，若公差小于0，则该数列单调递减，若公差等于0，则该数列是常数列，不具有单调性；三是会利用公式法求和，记清等差数列与等比数列的前n项和公式，不要搞混变式练已知数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)在函数yx210x 的图象上，等差数列bn满足bnbn1an(nN*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是()ASn2Tn Bb40CT7b7 DT5T6微专题(二十一)变式练解析：因为点(n，Sn)(nN*)在函数yx210x的图象上，所以，Snn210n，所以an2n11，又bnbn1an(nN*)，数列bn为等差数列，设公差为d，所以2b1d9,2b13d7，解得b15，d1，所以bnn6，所以b60，所以T5T6，故选D.答案：D
