1、第五节 解三角形及应用举例一 基础知识精讲掌握三角形有关的定理：正余弦定理：a2=b2+c2-2bccos, ；内角和定理：A+B+C=180，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos=sin, sin=cos面积公式：S=absinC=bcsinA=casinBS= pr = (其中p=, r为内切圆半径)射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形中的三角函数问题二问题讨论例1在ABC中，已知a=,b=,B=45，求A,C及边c
2、解：由正弦定理得：sinA=,因为B=4590且ba,所以有两解A=60或A=120(1)当A=60时,C=180-(A+B)=75， c=,(2)当A=120时,C=180-(A+B)=15 ，c=思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论例2 ABC中，若，判断ABC的形状。解一：由正弦定理：2A = 2B 或 2A = 180 - 2B 即：A= B 或 A + B = 90ABC为等腰或直角三角形解二： 由题设：化简：b2(a2 + c2 - b2) = a2(b2 + c2 - a2) (a2 -b2)(a2 + b2 - c2)=0a =
3、b或 a2 + b2 = c2 ABC为等腰或直角三角形思维点拨：判断三角形的形状从角或边入手例3在ABC中，已知，成等差数列，b=1, 求证：1a+c2.由正弦定理:,得a+c=(sinA+sinC)= (sinA+sinC)= sinA+sin(120A)=2sin(A+30)，因为0A120，所以30A+30150,故12sin(A+30)2.法二B=60,b=1，a2+c2-b2=2accos60, a2+c2-1=ac, a2+c2-ac=1,(a+c) 2+3(a-c) 2=4, (a+c) 2=4-3(a-c) 2.0a-c1 03(a-c)21, 1a+c2思维点拨：边角互化是
4、解三角形问题常用的手段例已知O的半径为R，在它的内接三角形ABC中，有成立，求ABC面积S的最大值解：由已知条件得即有 ，又 所以当A = B时，思维点拨：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理在求值时，要利用三角函数的有关性质例5：在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭。解(一) 如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向. 在时刻：t（h）台风中心的坐标为 此时台风侵袭的区域是， 其中t+60， 若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有即即， 解得.答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭解(二)设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则由余弦定理知由于PO=300,PQ=20t故因此解得
