1、第二节 平面的基本性质与空间两直线的位置关系第二节 平面的基本性质与空间两直线的位置关系 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1平面：立体几何中的平面是向四周无限延展的 2平面基本性质 名称 图形 文字语言 符号语言 公理1 如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 Al，Bl，A，Bl 公理2 如果_的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线 若P，P，则a，且P 两点不重合名称 图形 文字语言 符号语言 公理3 经过不在同一条直线上的_，有且只有一个平面 A、B、C不共线A、B、C平面且是惟一的
2、公理3的推论 推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有_平面 若点A直线a，则A和a确定一个平面 推论2 经过两条_直线，有且只有一个平面 abP有且只有一个平面使a，b 推论3 经过两条_直线，有且只有一个平面 ab有且只有一个平面，使a，b 三点一个相交平行3.空间两条直线的位置关系位置关系 公共点的个数 共面直线 相交直线 有且仅有_公共点 平行直线 在同一个平面内，没有_ 异面直线 不同在任何一个平面内，没有_ 一个公共点公共点4.平行直线在平面几何中，在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线_，那么这两条直线也互相平行那么，类比到空间中，对于空间的三条直线，平行于同一条直线的两直
3、线平行，这就是公理4.用符号表示如下：设a，b，c为直线，ab且bc，则ac.平行5等角定理如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行且方向相同，那么这两组直线所成的锐角(或直角)_ 6异面直线(1)定义：所谓异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线(2)两条异面直线既不相交又不平行相等(3)判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是_图形语言是如图所示，根据该图形的符号语言是：已知a，A，B，Ba直线AB和a是异面直线7两条异面直线所成的角异面直线过空间任意一点分别引两个异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角(或直角)叫做这两条异面直线所成的角，若记这个角
4、为，的范围为_(0，2思考感悟我们在日常生活中所看到的平面有各种形状，如三角形、平行四边形、矩形、圆形等，这种说法是否正确？提示：平面具有延展性，即它是向外围无限延伸的，因此，不能说平面具有什么形状，生活中所说的平面是什么形状，只是指具体事物的形状，而不是指平面1有下面几个说法：如果一条线段的中点在一平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；课前热身 点A在平面外，点A和平面内的任意一条直线都不共面其中正确的序号是_(把你认为正确的序号都填上)答案：2以下四个命题中，
5、正确命题是_(填序号)不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面答案：3如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)答案：4如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成角为90的面对角线(面对角线是指正方体各个面上
6、的对角线)共有_条答案：1考点探究挑战高考 证明共面问题 考点突破 证明共面问题主要包括线共面、点共面两种情况，其常用方法如下：(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合如图，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，BADFAB90，BC 綊12AD，BE 綊12FA，G、H 分别为 FA、FD 的中点(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C、D、F、E 四点是否共面？证明你的结论例1【思路分析】(1)G、H为中点 GH綊12AD 又BC綊12AD GH綊BC(2)方法一
7、：证明D点在EF、CH确定的平面内方法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M，可证M与M重合，从而FE与DC相交【解】(1)证明：由已知 FGGA，FHHD，可得 GH 綊12AD.又 BC 綊12AD，GH 綊 BC，四边形 BCHG 为平行四边形(2)法一：由 BE 綊12AF，G 为 FA 中点知 BE 綊 GF，四边形 BEFG 为平行四边形，EFBG.由(1)知 BGCH，EFCH，EF 与 CH 共面又 DFH，C、D、F、E 四点共面法二：如图，延长 FE、DC 分别与 AB 的延长线交于点M，M，BE 綊12AF，B 为 MA 的中点，BC 綊12AD，B 为 MA 的中点，M
8、 与 M重合，即 EF 与 CD 相交于点 M(M)，C、D、E、F 四点共面【名师点评】共面问题首先考虑确定平面，确定平面的条件有：一是不共线三点，二是直线与直线外一点，三是两相交直线，四是两条相互平行的直线，然后再证明线、点在平面内证明共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上，有时也可将问题转化为证明三点共线证明线共点问题 已知在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD的中点，G，H 分别是 BC，CD 上的点，且BGGCDHHC2.求证：直线 EG，FH，AC 相交于一点例2【思路分析】可以先证EG，FH交于一点，再证AC也过该点【证明】连结EF
9、和GH.E，F分别是AB，AD的中点，EF 綊12BD.又BGGCDHHC2，GH 綊13BD.EFGH，且 EFGH，四边形 EFHG 是梯形设两腰EG，FH相交于一点T.EG平面ABC，FH平面ACD，T平面ABC，且T平面ACD.又平面ABC平面ACDAC，TAC，直线EG，FH，AC相交于一点T.【名师点评】线共点问题，要用到两平面交线上的点的特征，即同时在两个相交平面内的点，必在两平面的交线上变式训练 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AEEBCFFB21，CGGD31，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH.(1)求AHHD；(2)求证：EH
10、、FG、BD三线共点解：(1)AEEBCFFB2，EFAC，EF面 ACD.而 EF平面 EFGH，且面 EFGH面 ACDGH，EFGH.而 EFAC，ACGH.AHHDCGGD3，即 AHHD31.(2)证明：EFGH，且EFAC13，GHAC14，EFGH，四边形 EFGH 为梯形令EHFGP，则PEH，而EH平面ABD，PFG，FG平面BCD，面ABD面BCDBD，PBD，EH、FG、BD三线共点1“不同在任何一个平面内”，指这两条直线不能确定任何一个平面，因此，异面直线既不相交，也不平行2不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线异面直线 如图所示，长方体ABCDA1
11、B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由例3【思路分析】(1)可证得MNAC，故AM、CN共面；(2)利用反证法或定理法【解】(1)不是异面直线理由：连结MN、A1C1、AC.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，MNA1C1.又A1A綊C1C，A1ACC1为平行四边形A1C1AC，得到MNAC，A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线证明如下：ABCDA1B1C1D1是长方体，B、C、C1、D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1
12、平面，D1、B、C、C1，与ABCDA1B1C1D1是长方体矛盾假设不成立，即D1B与CC1是异面直线【名师点评】判断两直线异面的方法有两种：(1)根据定义，结合图形想象判断(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到方法技巧1图形对于分析空间元素的位置关系，展开想象、探索解题思路是至关重要的，因此复习时应重视两个问题：一是画图与识图，即能正确运用实、虚线画出结构合理的直观示意图，能正确识别空间元素点、线、面的位置关系二是要重视改变视角的非常规位置的画法训练(如倒置或横、竖放
13、置等)，借助图形思考，能正确判定空间图形位置、形状及存在的数量关系，寻找解题思路或途径方法感悟 2求证三点及三点以上的点共线，主要依据公理2，只要证明这些点都是两个平面的公共点，那么它们都在这两个平面的交线上；求证三条直线或三条以上的直线共点的一般方法：首先证明两条直线交于一点，再证其余各直线都经过这点处理好这类问题是解决高考中立体几何题型的基础失误防范1平面与平面相交有且只有一条公共直线，不能是交于一点2理解直线的位置关系，不能只想平面，要想象在空间中的位置，异面直线是指两直线不能同在任一平面内考向瞭望把脉高考 考情分析 本节内容涉及平面的基本性质(三条公理及三个推论)，平行的传递性(公理4
14、)，空间两直线的位置关系等内容，属于立体几何的基础性知识，凡立体几何考题均或多或少涉及本节内容，但主要考查本节内容的考题不多，本节的考查常常与几何体如正方体、长方体相结合，涉及到对空间想象能力的深入考查预测2012年江苏高考对本节内容的考查，可能会以综合性问题的形式出现，但大多为容易题或中档题由于本节内容为立体几何的基础，因此所有的立体几何试题都有本节内容的“影子”，应予以重视(2010年高考江西卷改编)如图，M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；真题透析 例过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；过M
15、点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行其中真命题是_【解析】对于，平面ABM与平面B1C1M的交线即为过点M与AB、B1C1均相交的直线，只有惟一一条，故正确；对于，BB1为AB与B1C1的公垂线，过点M与BB1平行的直线只有一条即为DD1，故正确；对于，由于过一点与两条异面直线都相交的平面有无数个，故错误；对于，分别取AA1、BB1、CC1的中点与点M确定的平面即为过点M与AB、B1C1都平行的平面，只有惟一一个，故正确【答案】【名师点评】空间中点、线、面的位置关系要依据相关的公理、定理来判断，也可以结合具体的空间图形来判断，因而要熟悉相关的几何体中点、线、面的关系1已知E、F、G、H是空间中的四个点，设命题甲：点E、F、G、H不共面；命题乙：直线EF和GH不相交，那么甲是乙的_条件答案：充分不必要2已知a、b是两条异面直线，ca，那么c与b的位置关系是_答案：异面或相交名师预测 3如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是_解析：中PQRS，中RSPQ，中RS和PQ相交答案：本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
