1、第6课时简单的线性规划问题1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题.3.能从实际情境中抽象出简单的线性规划问题.重点:用图解法解决简单的线性规划问题.难点:准确求得线性规划问题的最优解.世界杯冠军意大利足球队营养师布拉加经常遇到这样一类营养调配问题:甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本如下表:甲乙丙维生素A(单位/千克)400600400维生素B(单位/千克)800200400成本(元/千克)765布拉加想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A不少于4400单位,维生素B不少于480
2、0单位.问题1:(1)假设布拉加购买了甲种食物x千克,乙种食物y千克,则按照布拉加对维生素A、B的含量要求,x,y应该满足的条件是即形如这样的由变量x,y组成的不等式(组)或等式叫作约束条件,由变量x,y组成的一次不等式(组)或等式叫作线性约束条件.(2)设布拉加购买三种食物的成本为z,则z=2x+y+50,像z这样的关于x、y的函数叫作目标函数,关于x、y的一次函数叫作线性目标函数,目的是求z的最大值或最小值.(3)满足线性约束条件的解(x,y)叫作可行解;由所有可行解组成的集合叫作可行域;使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.问题2:用图解法解决线性规划问题的一般步骤:
3、 (1)画出可行域;(2)令z=0作出直线l0:ax+by=0;(3)作一组与直线l0平行的直线系或平移直线l0;(4)找到最优解;(5)解方程组;(6)写出答案,并检验.问题3:图解法可概括为“画、移、求、答”.即(1)画:画出可行域和直线ax+by=0(目标函数是z=ax+by);(2)移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点;(3)求:求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值;(4)答:给出正确答案,并检验.问题4:在求线性目标函数的最值时,我们可以归纳出如下结论:(1)线性目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.(2)线性目
4、标函数的最值也可能在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有无数个.在数学最优化问题中,拉格朗日乘数法(以数学家约瑟夫路易斯拉格朗日命名)是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法.这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n+k个变量的方程组的极值问题,其变量不受任何约束.这种方法引入了一种新的标量未知数,即拉格朗日乘数:约束方程的梯度(gradient)的线性组合里每个向量的系数.此方法的证明牵涉到偏微分,全微分或链法,从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值.1.若则目标函数z=x+2y的取值范围是().A.2,6B.2,5C.3,6D.3,
5、5【解析】画出可行域,可知选A.【答案】A2.若x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y取最小值时所对应点的坐标为().A.(0,1)B.(1,0)C.(1,1)D.(3,4)【解析】画出可行域,平移直线x+2y=0,在点(1,0)处取得最小值,故选B. 【答案】B3.已知变量x、y满足约束条件则z=x+y的最大值为.【解析】如图作出可行域,令z=0作出直线l0:x+y=0,平移l0知,当l0与直线BC重合时zmax=1.【答案】14.购买8角和2元的邮票若干张,并要求每种邮票至少有两张.如果小明带有10元钱,问有多少种买法?【解析】设购买8角和2元邮票分别为x张、y张,则即2x7,2y4,
6、当y=2时,2x15,2x7,有6种;当y=3时,2x10,2x5,有4种;当y=4时,2x5,2x2,x=2有一种.综上可知,不同买法有:6+4+1=11种.线性目标函数的最值问题已知变量x、y满足下列条件:试求:z=4x-y的最大值.【方法指导】解答本题时求z的最大值就转化为求直线在y轴上的截距的最小值.要注意理解线性目标函数中z的几何意义.【解析】作出满足条件的可行域,如图所示.由每条直线的方程可以求出点A(1,1)、B(2,4)、C(3,5)、D(5,5)、E(5,3).目标函数z=4x-y可化为y=4x-z,欲求z的最大值,只需求直线y=4x-z在y轴上的截距的最小值.由图知,当直线
7、y=4x-z过点E时,直线在y轴上的截距最小,z取得最大值17.【小结】求目标函数z=ax+by+c(ab0,c0)的最值,与求目标函数t=ax+by(ab0)的最值的方法是一样的.因为在z=ax+by+c中,c为非零常数,故仍然可设t=ax+by,只要求出t=ax+by的最值,则z=ax+by+c的最值即可求得.线性目标函数最值整数点问题已知x,y满足不等式组求使x+y取最大值时的整数x,y.【方法指导】先画出平面区域,然后在平面区域内寻找使z=x+y取最大值时的整点.【解析】不等式组的解集为三直线l1:2x-y-3=0,l2:2x+3y-6=0,l3:3x-5y-15=0所围成的三角形内部
8、(不含边界),设l1与l2,l1 与l3,l2与l3交点分别为A,B,C,则坐标分别为A(,),B(0,-3),C(,-),作一组平行线l:x+y=t平行于l0:x+y=0,当l往l0右上方移动时,t随之增大,当l过C点时x+y最大为,但不是整数解,又由0x0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是().A.B.C.2D.【解析】由z取得最大值的最优解有无穷多个可知,目标函数y=-ax+z(a0)在可行域内与直线AC重合或平行即可,又kAC=-,a=,故选B.【答案】B3.已知实数x,y满足不等式组则z=2x+y的取值范围为.【解析】据线性约束条件画出可行域如图所示,当直线z=2x+y经过点
9、(0,1)时,取最小值1;当直线z=2x+y经过点(1,4)时,取最大值6.【答案】1,64.在平面直角坐标系中,不等式组(a为正常数)表示的平面区域的面积是4,求2x+y的最大值.【解析】如图,作出可行域,由题意得:A(a,a),B(a,-a),S=2aa=4,a=2.设目标函数z=2x+y,y=-2x+z,由图可知,当直线y=-2x+z过点A时,直线在y轴上的截距最大,即z在(2,2)处取得最大值6.1.(2013年天津卷)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为().A.-7B.-4C.1D.2【解析】作出可行域(如图),可行域为ABC内部及边界,将l0:y-2x=0在可行域内平移,当l0经过B点时,z取得最小值,由得B(5,3),故zmin=3-25=-7.【答案】A2.(2013年湖南卷)若变量x,y满足约束条件则x+2y的最大值是().A.-B.0C.D.【解析】可行域如图所示,则当x=,y=时,zmax=+2=,故选C.【答案】C