1、单元素养评价(二)(2.12.3.4)(120分钟 150分)一、单选题(每小题 5 分，共 40 分)1点(1，y1)，(2，y2)是直线 y2x1 上的两点，则 y1 与 y2 的大小关系为()Ay1y2 By1y2Cy1y2D无法判断【解析】选 B.因为 y2x1 是增函数，所以由12，得 y1y2.2若点 P(4，2，3)关于坐标平面 xOy 及 y 轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则 c 与 e 的和为()A7 B7 C1 D1【解析】选 D.因为点 P(4，2，3)关于坐标平面 xOy 的对称点为(4，2，3)，点 P(4，2，3)关于 y 轴的对称点的坐标为
2、(4，2，3)，因为点P(4，2，3)关于坐标平面 xOy 及 y 轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，所以 c3，e4，所以 ce1.3把直线 xy 3 10 绕点(1，3)逆时针旋转 15后，所得直线 l 的方程是()Ay 3 x By 3 xCx 3 y20 Dx 3 y20【解析】选 B.已知直线 xy 3 10 的斜率为 1，则其倾斜角为 45，所以直线 l 的倾斜角 451560，直线 l 的斜率为 tan tan 60 3，所以直线 l 的方程为 y 3 3(x1)，即 y 3 x.4点 P()4，2与圆 x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是()A()x2
3、2()y121B()x22()y124C()x42()y224D()x22()y121【解析】选 A.设圆上任一点为 Q()x0，y0，PQ 中点为 M()x，y，根据中点坐标公式，得x02x4，y02y2，因为 Q()x0，y0在圆 x2y24 上，所以 x20 y20 4，即()2x42()2y224，化为()x22()y121.5过点()0，1的直线 l 被圆(x1)2y24 所截得的弦长最短时，直线 l 的斜率为()A1 B1 C 2 D 2【解析】选 A.点()0，1在()x12y24 圆内，要使得过点()0，1的直线 l 被圆()x12y24 所截得的弦长最短，则该弦以()0，1为
4、中点，与圆心和()0，1连线垂直，而圆心和()0，1连线的斜率为0110 1，所以所求直线斜率为 1.6已知直线 l：xay10(aR)是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴过点 A()4，a作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB()A2 B4 2 C6 D2 10【解析】选 C.圆 C 标准方程为(x2)2(y1)24，圆心为 C(2，1)，半径为 r2，因此 2a110，a1，即 A(4，1)，|AB|AC|2r2（42）2（11）24 6.7圆 M：x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M与圆 N：(x1)2(y1)21 的位置关系是()A内切 B
5、相交C外切 D相离【解析】选 B.化简圆 M：x2(ya)2a2(a0)M(0，a)，r1aM 到直线 xy0 的距离 d|a|2|a|222a2a2M(0，2)，r12，又 N(1，1)，r21|MN|2|r1r2|MN|r1r2|两圆相交8已知 P 是直线 kx4y100(k0)上的动点，过点 P 作圆 C：x2y22x4y40 的两条切线，A，B 是切点，C 是圆心，若四边形 PACB 面积的最小值为2 2，则 k 的值为()A13 B152 C2 D3【解析】选 D.圆的标准方程为()x12()y221，则圆心为 C()1，2，半径为 1，则直线与圆相离，如图：S 四边形 PACBS
6、PACS PBC，而 S PAC12|PA|CA 12|PA，S PBC12|PB|CB 12|PB，又|PA|PB|PC 21，所以当|PC 取最小值时|PA|PB 取最小值，即 S PACS PBC 取最小值，此时，CPl，四边形 PACB 面积的最小值为 2 2，S PACS PBC 2，所以|PA 2 2，所以|CP 3，所以|k810k2163，因为 k0，所以 k3.二、多选题(每小题 5 分，共 20 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)9过点 A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则满足条件的直线方程有()Ayx1 Byx3Cy2x Dy
7、2x【解析】选 AC.当直线过原点时，可得斜率为2010 2，故直线方程为 y2x；当直线不过原点时，设方程为xa ya 1，代入点(1，2)可得1a 2a 1，解得 a1，故方程为 xy10.故所求直线方程为：y2x 或 yx1.10若圆()x32()y52r2 上有且仅有两个点到直线 4x3y20 的距离为 1，则半径 r 的取值可以是()A4 B5 C112 D6【解析】选 BC.易求圆心(3，5)，到直线 4x3y20 的距离 d5，由已知得d1rd1，即 4r0与圆 x2y21 和圆(x4)2y21 均相切，则 k_；b_.【解析】方法一：因为直线 ykxb(k0)与圆 x2y21，
8、圆(x4)2y21 都相切，所以|b1k2|4kb|1k2 1，得 k 33，b2 33.方法二：因为直线 ykxb(k0)与圆 x2y21，圆(x4)2y21 都相切，所以直线 ykxb 必过两圆心连线的中点()2，0，所以 2kb0.设直线 ykxb的倾斜角为，则 sin 12，又 k0，所以 6，所以 ktan 6 33，b2k2 33.答案：33 2 33四、解答题(共 70 分)17(10 分)已知点 A(2，2)，直线 l1：3x4y20.(1)求过点 A 且与直线 l1 垂直的直线方程(2)直线 l2 为过点 A 且和直线 l1 平行的直线，求平行直线 l1，l2 的距离【解析】
9、(1)设过点 A 且与直线 l1 垂直的直线方程为 4x3ym0.把点 A 的坐标代入可得：86m0，解得 m2.所以过点 A 且与直线 l1 垂直的直线方程为4x3y20.(2)设过点 A 且和直线 l1 平行的直线 l2 的方程为：3x4yn0.把点 A 的坐标代入可得：68n0，解得 n14.所以直线 l2 的方程为：3x4y140.所以平行直线 l1，l2 的距离 d|142|32（4）2 125.18(12 分)已知直线 l：(2m)x(12m)y43m0.(1)求证：不论 m 为何实数，直线 l 恒过一定点(2)过点 M(1，2)作一条直线 l1，使 l1 夹在两坐标轴之间的线段被
10、 M 点平分，求直线 l1 的方程【解析】(1)因为 m(x2y3)2xy40，所以由题意得x2y30，2xy40，解得x1，y2，所以直线 l 恒过定点(1，2).(2)设所求直线 l1 的方程为 y2k(x1)，直线 l1 与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，则 A2k1，0，B(0，k2)，因为 AB 的中点为 M，所以22k1，4k2，解得 k2，所以所求直线 l1 的方程为 2xy40.19(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：x2y212x14y600 上一点 A()2，4.(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6
11、上，求圆 N 的标准方程；(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且 BCOA，求直线 l 的方程【解析】(1)由圆心 N 在直线 x6 上，可设 N()6，y0.因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，所以 0y00，则有1DF0，1DF0，943D2EF0，解得D0，F1，E6.则圆 H 的方程为 x2y26y10.(2)由直线与圆位置关系得：半径，半弦长，圆心到直线距离构成勾股定理，即 12d210，因此 d3，又直线 l 过点 C()3，2，故利用直线方程点斜式求解，注意先讨论斜率不存在的情况：若 lx 轴，直线方程为 x3，满足题意；若 l 的斜率存在，
12、设l 的方程为 yk(x3)2，圆心到直线的距离为 d3|3k11k2，解得 k43，直线方程为 4x3y60，综上，直线 l 的方程为 x3 或 4x3y60.(3)结合图象(图略)由题意得：0CPr2r，即 rCP3r 恒成立，所以rCPmin4 105，3rCPmaxCH 10，从而 103r4510.21(12 分)已知圆 C 过点 P(1，1)，且与圆 M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线 xy20 对称(1)求圆 C 的方程；(2)设 Q 为圆 C 上的点，且PQ MQ4，求 Q 点坐标【解析】(1)设圆心 C(a，b)，由已知得 M(2，2)，则a22 b22 20，b2
13、a21，解得a0，b0，则圆 C 的方程为 x2y2r2，将点 P 的坐标代入得 r22，故圆 C 的方程为 x2y22.(2)设 Q(x，y)，则 x2y22，PQ MQ(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy24.所以x2y22，xy20，解得x1，y1，所以 Q 点的坐标为 Q(1，1).22(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为 2 2 的圆 C与直线 yx 相切于坐标原点 O.(1)求圆 C 的方程；(2)试求圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 Q 到定点 F(4，0)的距离等于线段 OF的长？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由【解析】(1)设圆 C 的圆心为 C(a，b)，则圆 C 的方程为(xa)2(yb)28.因为直线 yx 与圆 C 相切于原点 O，所以 O 点在圆 C 上，且 OC 垂直于直线 yx，于是有a2b28，ba1，解得a2，b2 或a2，b2.由于点 C(a，b)在第二象限，故 a0，所以圆 C 的方程为(x2)2(y2)28.(2)假设存在点 Q 符合要求，设 Q(x，y)，则有（x4）2y216，（x2）2（y2）28，解得 x45 或 x0(舍去).所以存在点 Q45，125，使 Q 到定点 F(4，0)的距离等于线段 OF 的长