1、第五节 平面与平面的位置关系第五节 平面与平面的位置关系 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1两个平面平行(1)定义：_两个平面叫做平行平面符号表示：平面、平面，若_，则.(2)判定定理(文字语言、图形语言、符号语言)没有公共点的相交的线面平行(3)性质定理它 们 的 交 线平行线线平行(4)两个平行平面的距离一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直另一个平面这条直线叫做两个平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的公垂线段，它的长度叫做两个平行平面的距离2二面角(1)二面角的定义：由_的空间图形叫做二面角公共交线叫
2、做该二面角的_两个半平面叫做二面角的_两个半平面和一条公共交线组成棱面(2)二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作_两条射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角若记此角为，则_，当90时，二面角叫做_垂直于棱的(0，)直二面角3两个平面垂直(1)定义，两个平面相交，如果所成的二面角是_，那么这两个平面互相垂直(2)判定定理直二面角经过另一个平面的垂线线面垂直(3)性质定理线面垂直4.空间距离(1)点到直线的距离：点和_的距离(2)点到平面的距离：点和_的距离(3)直线到与它平行的平面的距离：直线上_到平面的距离(4)两平行平面的距离：一个面内_到另一个平面的距离它在直
3、线上射影它在平面上射影任一点任一点(5)三棱锥的体积公式：四面体ABCD，A到面BCD的距离为h，则VABCD_.思考感悟两个平面平行，一个平面内的直线都平行于另一个平面，如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线都垂直于另一个平面吗？提示：不一定，如果一个平面内的直线与两平面的交线不垂直，那么它就不垂直于另一个平面13SBCDh1两平面，直线a平面，下列命题：a与内的所有直线平行；a与内任何一条直线都不垂直；a与内无数条直线平行；a与无公共点其中真命题的个数是_个解析：由面面平行的定义可知正确答案：2课前热身 2过平面外两点且垂直于平面的平面有_个解析：两点连线是平面的垂线时，无数个，否则一个答
4、案：1个或无数3若四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的正方形，侧棱 PAa，PBPD 2a，则在它的五个面中，互相垂直的面共有_对解析：画出符合条件的一个四棱锥PABCD，如图，PA面ABCD(PAB，PAD为Rt)，从图知有5对 答案：54m、n是空间两条不同直线，、是两个不同平面，下面有四个命题：m，n，mn；mn，mn；mn，mn；m，mn，n.其中，真命题的编号是_(写出所有真命题的编号)解析：对，因为n n或nmmn.错，因为由条件可能得出 n 的情况答案：错，如图满足条件，却得不出 n.m对，mn n n.考点探究挑战高考 面面平行 考点突破 熟练掌握平面与平面的平行关系，通
5、过直线与平面的平行进而判定平面与平面的平行，或者反过来由后者判定前者，这是一种最基本和最常见的题型，复习时要注意空间两平面平行的常用解法，要善于总结、归纳，掌握此类问题的通性、通法及相关题型的常用解题方法如图所示，三棱柱ABCA1B1C1，D是BC上一点，且A1B平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.【思路分析】先由线面平行的性质，确定D的位置，再据面面平行的判定定理证明例1【证明】连结A1C交AC1于点E，四边形A1ACC1是平行四边形，E是A1C的中点，连结ED，A1B平面AC1D，平面A1BC平面AC1DED，A1BED，EA1C的中点，D是BC的中点，又
6、D1是B1C1的中点，BD1C1D，A1D1AD，又A1D1BD1D1，平面A1BD1平面AC1D.【名师点评】面面平行的证明转化为线线平行或线面平行，应充分利用三角形的中位线及平行四边形的平行关系来证明，这是证明平行的常用方法变式训练1 如图，已知：平面平面，AB、CD夹在、之间，A、C，B、D；E、F分别为AB、CD的中点，求证：EF，EF.证明：当AB和CD共面时，经过AB、CD作平面与、分别交于AC、BD.，ACBD.AEEB，CFFD，EFAC.AC，EF，同理EF.当AB和CD异面时，如图，在CD与E所确定的平面内，过点E作CDCD与、分别交于点C、D.经过相交直线AB和CD作平面
7、，分别交、于AC、BD.，ACBD.AEEB，CEED.CDCD，经 过 CD 和 CD作平 面与、分别交 于CC和DD.，CCDD.在四边形CDDC中，CC DD，CE ED，CF FD，EFDD DD，EF，同理EF.两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况，判定两个平面垂直可用定义或判定定理，一般常用判定定理证明，即从现有的直线中寻找平面的垂线，也可在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为面面垂直，要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化关系面面垂直 如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：(1)DED
8、A；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.例2【思路分析】(1)要证明DEDA，只需证明RtDFERtDBA.(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDMN经过平面ECA的一条垂线即可(3)仍需证明平面EDA经过平面ECA的一条垂线【证明】(1)取EC的中点F，连结DF，BDCE，DBBA.又ECBC，在RtEFD和RtDBA中，EF12ECBD，FDBCAB，RtEFDRtDBA，DEDA.(2)取 CA 的中点 N，连结 MN、BN，则 MN 綊12EC，MNBD，N点在平面BDM内 EC平面ABC，ECBN.又CABN，BN平面
9、ECA.BN平面BDM，平面BDM平面ECA.(3)DMBN，BN平面ECA，DM平面ECA.又DM平面DEA，平面DEA平面ECA.【名师点评】本题(2)充分体现了“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”的转化过程，要熟练掌握这种转化思想，应用时要注意定理的限制条件，体现逻辑推理的科学性，规范性变式训练 2 如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACBCBB11，AB1 3.(1)求证：平面 AB1C平面 B1CB；(2)求三棱锥 A1AB1C 的体积解：(1)证明：直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BB1底面 ABC，则 BB1AB，BB1BC，又由于 ACBCBB11，AB1 3
10、，则 AB 2，则由AC2BC2AB2可知，ACBC，又由BB1底面ABC可知BB1AC，则AC平面B1CB，AC平面AB1C，所以有平面AB1C平面B1CB；(2)三棱锥的体积 VA1AB1CVB1A1AC1312116.面面平行、垂直可以由线面平行、垂直的相互关系推出，因而在复习中，要熟练掌握线线、线面、面面平行(垂直)的相互关系，熟悉有关的条件、结论、从而达到熟能生巧，运用自如平面与平面位置关系的综合问题(2011年徐州高三调研)如图，平面ABCD平面PAD，在APD中，APD90，在四边形ABCD中，BCAD，BAD90，AD2BC，O是AD的中点求证：(1)CD平面PBO；(2)平面
11、PAB平面PCD.例3【思路分析】(1)证线线平行；(2)证PD面PAB.【证明】(1)因为AD2BC，且O是AD中点，所以ODBC，又ADBC，所以ODBC，所以四边形BCDO为平行四边形，所以CDBO，CD平面PBO，且BO平面PBO，故CD平面PBO.(2)因为BAD90，所以BAAD，又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD，PD平面PAD，所以ABPD，APPD，ABAPA，所以PD平面PAB，PD平面PCD，故平面PAB平面PCD.【名师点评】证明面面垂直，通常是证明一个平面过另一个平面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直因此
12、，正确地选择垂线是解题的关键，垂线一般选取的方法是作出两平面的交线在一个平面内的垂线变式训练3(2011年南京质检)如图，已知矩形ABCD中，AB10，BC6，沿矩形的对角线BD把ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上求证：(1)BCA1D；(2)平面A1BC平面A1BD.证明：(1)由于A1在平面BCD上的射影O在CD上，则A1O平面BCD，又BC平面BCD，则BCA1O，又BCCO，A1OCOO，则BC平面A1CD，又A1D平面A1CD，故BCA1D.(2)因为ABCD为矩形，所以A1BA1D.由(1)知BCA1D，A1BBCB，则A1D平面A1BC，又A1D
13、平面A1BD.从而有平面A1BC平面A1BD.方法技巧1两个平面平行的判定方法(1)定义法：即证明两平面没有公共点，常用反证法(2)判定定理：即证明一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面2面面垂直的判定方法：方法感悟(1)定义法：即证明两平面所成的二面角是直二面角(2)判定定理：即证明一个平面过另一个平面的一条垂线3立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系相互转化，使问题顺利解决，熟练掌握这种平行(垂直)转化的思想方法，就能找出解题的突破口这是高考重点考查的方法，应引起重视，两大关系的转化如下表所示：平行关系的转化垂直关系的转化4在证明平行(垂直)时，有时需作辅助线(面)来解决，而作辅助
14、线则应有理论根据，并有利于证明，不能随意添加5无论是线面平行(垂直)还是面面平行(垂直)，都源于线与线的平行(垂直)，这种转化为“低维”的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以从题设条件入手，分析已有的关系，再从结论入手分析要证的关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”6在线面平行(垂直)和面面平行(垂直)的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”、“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指引了方向，同时又有很强的制约性，所以使用这些定理时，一定要注意体现这逻辑推理的规范性失误防范1面面平行的判定是建立在线面平行的基础上的，当线面平行不具备时，还得从线
15、线平行的判定开始2正确使用两平面平行的性质定理是“作出”或“找出”与它们相交的第三个平面，切忌在两个平面内分别画出两条平行直线3证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直，线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中要灵活应用三者之间的转化关系，必要时可添加辅助线(面)，在应用面面垂直的性质定理时要注意不是一个平面内的直线都垂直于另一个平面，必须符合垂直于“交线”的关系考向瞭望把脉高考 考情分析 面与面的位置关系(平行、垂直的判定与性质等)是高考的重点、热点，其题型既有填空题，也有解答题，难度偏高 预测2012年江苏高考仍将以线面平行、垂直的判定、面面平行、垂直的判定为主进行考查预计面面平行的难度不
16、大，而面面垂直的难度稍大，应注意线面关系是线线、面面关系中的“纽带”，特别是线面垂直从能力要求上看，主要考查对定义、定理的深刻理解，对符号、图形语言的转换能力，及空间想象力、逻辑推理能力、分析问题解决问题的能力(本题满分14分)(2009年高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1DB1C.求证：(1)EF平面ABC；(2)平面A1FD平面BB1C1C.规范解答 例【证明】(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EFBC.2分 因为EF平面ABC，BC平面ABC，所以EF平面ABC.6分(2)由三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱
17、知CC1平面A1B1C1.8分又A1D平面A1B1C1，故CC1A1D.10分 又因为A1DB1C，CC1B1CC，CC1、B1C平面BB1C1C，故A1D平面BB1C1C，12分 又A1D平面A1FD，所以平面A1FD平面BB1C1C.14分【名师点评】线面、面面垂直关系的判定为高考解答题中常见的问题，以常见的立体几何图形为载体，结合三角形、四边形等图形中垂直关系的应用，使垂直问题成为立体几何问题中的一大类型常利用线线，线面，面面的垂直关系实现相互间的转化，使问题的解法灵活多变，平时训练应注意常见图形中的垂直问题1已知m、n是两条不同直线，是两个不同平面，有下列4个命题：若mn，n，则m；若
18、mn，m，n，则n；若，m，n，则mn；若m，n是异面直线，m，n，m，则n.其中正确的命题序号是_名师预测 解析：根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理可知正确的命题序号是.答案：2已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：若mn，m，则n；若m，m，则；m，mn，n，则；若m，n，则mn.其中不正确的命题的个数是_解析：真命题有.答案：13如图，四边形ABCD为平行四边形，四边形AFED是正方形，且BD平面CDE，H是BE的中点，G是AE，DF的交点求证：(1)GH平面CDE；(2)面AFED面ABCD.证明：(1)G是AE，DF的交点，G是AE中点，又H是BE的中点，EAB中，GHAB，ABCD，GHCD，又CD平面CDE，GH平面CDE，GH平面CDE.(2)BD平面CDE，所以BDED，又因为四边形AFED为正方形，EDAD，ADBDD，ED面ABCD，ED面AFED，面AFED面ABCD.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用