1、北京市东城区第二次模拟考试数 学 试 题2001.6说明：本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.参考公式：三角函数的和差化积公式：cos正棱台、圆台的侧面积公式其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长.台体的体积公式台体其中S、S分别表示上、下底面的面积，表示高.第卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.方程的一个解是 A.1 B.2 C.3 D.42.的值是 A.3.已知函数f(x)= 则的值是A.9 B. C.9 D. 4.(理)圆的圆心的一个极坐标为
2、A. B. C. (文)圆的圆心的横坐标为1，则a等于 5.设等比数列（）的前n项和为，则的值是 A.6.已知函数f(x)=的定义域为(0，3，则它的反函数的定义域为A.， B.（，C.，） D.，）7.(理)圆台的轴截面面积与侧面积的比为，则侧面母线所在直线与轴所夹锐角为A. B. C. D. (文)圆台的轴截面面积与侧面积的比为，则侧面母线所在直线与轴所夹锐角的余弦值为 A. B. C. D. 8.如果四面体的四个顶点到平面的距离都相等，则这样的平面一共有A.1个 B.3个 C.4个 D.7个9.函数的最大值是A. B. C.1 D.210.过椭圆（）中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点
3、为2（，），则ABF2的最大面积是A.ab B.ac C.bc D.b211.已知A、B、C、D为同一球面上的四点，且连接每两点间的线段长都等于2，则球心O到平面BCD的距离等于 A.12.原市话资费为每3分钟0.18元，现调整为前3分钟资费为0.22元，超过3分钟，每分钟按0.11元计费，与调整前相比，一次通话提价的百分比A.不会高于70% B.会高于70%而不会高于90%C.不会低于10% D.高于30%而低于100%第卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.已知z1，则（ .14.求值： .15.已知正四棱柱的体积为定值V，则
4、它的表面积的最小值为 .16.已知下列曲线：以及编号为的四个方程：|x|-|y|=0 x-|y|=0 |x|-y=0请按曲线、的顺序，依次写出与之相对应的方程的编号： .三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=A（）（，)的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（0，）和（，）.（）求f(x)的解析式；()(理)将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，然后再将所得图象向x轴正方向平移个单位，得到函数y=g(x)的图象，写出函数y=g(x)的解析式并用列表作图的
5、方法画出y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.()（文）用列表作图的方法画出函数y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x，（）指出f(x)在定义域R上的奇偶性与单调性(只须写出结论，无须证明)；()若a、b、c，且a+b，b+c0,c+a0,试证明：f(a)+f(b)+f(c) 19.(本小题满分12分) (理)已知：如图，长方体ABCDABCD中，、分别为AD和CC的中点，为下底面正方形的中心.求：（）二面角的正切值；()异面直线EB与所成角的余弦值；()三棱锥的体积.(文)已知：如图，长方体中，为的中点，O为下底面正方形的中点，求
6、()二面角的正切值；()异面直线与EO所成角的正切值；()三棱锥ABE的体积.20.(本小题满分12分)(理)已知等差数列中，公差，等比数列中，公比0且若(，)，求a的取值范围.(文)已知等差数列的公差为d，等比数列b的公比为,且（），若（，），求a的取值.21.(本小题满分12分)已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计，如图：图1的过水断面为等腰ABC，过水湿周图2的过水断面为等腰梯形ABCD，过水湿周若ABC与梯形ABCD的面积都为S，()分别求和的最小值；()为使流量最大，给出最佳设计方案. 22.(本小题满分14分)(理)已知：如图射线OA为y
7、=kx(k，)，射线OB为y=kx(x)，动点P(x,y)在的内部，于M，OB于N，四边形ONPM的面积恰为k.()当为定值时，动点P的纵坐标y是其横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；()根据k的取值范围，确定y=f(x)的定义域.(文)已知：如图射线OA为y=2x()，射线OB为y=2x(x)，动点P(x,y)在的内部，于M，OB于N，四边形ONPM的面积为2.（）动点P的纵坐标y是其横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；()确定y=f(x)的定义域.参考答案一、选择题1.B .B .B .D 5.C 6.C 7.A 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B二、填空
8、题13. 16.三、解答题17解：（）由已知，易得,解得，把(0，1)代入解析式y=（），得又，解得（）为所求. 6分(理)()压缩后的函数解析式为（x+）再平移，得g(x)=2（+）（）xx022sin(x)02020评分标准说明：求出A、各占2分.列表与画图各占3分.(图略) 12分(文)()x4022sin(+)02020评分标准说明：求出A、各占2分.列表与画图各点3分.(图略) 12分18.解：()f(x)是定义域R上的奇函数且为增函数. 4分()由a+b，得由增函数，得f(a)f(-b) 6分由奇函数，得f(-b)=-f(b) 8分f(a)+f(b)同理可得f(b)+f(c)，f(
9、c)+f(a)将上三式相加后，得f(a)+f(b)+f(c) 12分19.(理)解：（）取上底面的中心O，作EB于G，连OO和。由长方体的性质得平面ABCD，则由三垂线定理得则为二面角CEBO的平面角 2分由已知可求得利用ABE，可求得在中， 4分 ()在上取点H，使，连O和FH.易证明，则FO为所求 6分在HF中，由余弦定理，得 8分 ()连HB、HE，由，得平面BEF.H（） 12分 (文)()取上底面的中心O，作AB于F，连和.由长方体的性质，得平面ABCD，由三垂线定理，得AB.则为二面角的平面角 2分，在中， 4分()取的中点G，连和EG.易证明AB，为所求. 6分，在中， 8分 (
10、)连BG，AG，由AB易证明平面ABE.（） 12分20.(理)解：由已知不等式，得（）（）（）（）， 3分当时，d 4分， 5分若，则， 6分若，则， 7分当时， 8分， 9分若时，则， 10分若时，则， 11分综上：若01时，或11时，或 12分(文)解：由得， 2分由已知，得（）（）（）（） 4分， 5分由对数定义得 ad 6分当，时，得，当，时，得a=1.这与已知a1相矛盾.当d0，时，得a=综上：当d=0，q=1时，a， 8分当，时，a的取值集合为空集 10分当d，时， 12分21解：()在图1中，设，则由于、皆为正值，可解得当且仅当，即时取等号.所以 4分在图2中，设，由可求得m+
11、n,S= (n+m+n)m解得m+n=2m+=当且仅当，即时取等号. 10分()由于，则的最小值小于的最小值.所以在方案中当取得最小值时的设计为最佳方案. 12分22(理)解：()设M(a,ka),N(b,-kb)(a，)则， 2分由动点P在的内部，得， 4分四边形（）（）（）（）（）k(a+b)x-(a-b)y=2k 6分又分别解得a= 8分代入式消去a、b并化简得， 9分()由，得当k=1时，不等式为，恒成立.当1时，由不等式得当1时，由不等式得但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，所以还必须满足条件将它代入函数解析式，得解得综上：当k=1时，定义域为 10分当1时，定义域为； 12分当k1时，定义域为 14分(文)解：()设M(a,2a),N(b,-2b)(a，)则， 2分由动点P在的内部，得2 4分四边形（）（2）（2）2（）（）22(a+b)x-(a-b)y=4 6分又分别解得a= 8分代入式消去a、b，并化简得5， 9分（）由P在内部，得又垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能构成四边形，所以还必须满足条件所以y=f(x)的定义域为 14分(注：只得出x的，给1分)