1、二 空间向量的数量积(15 分钟 30 分)1如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N，P 分别是棱 CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90，则PMN 的大小是()A等于 90 B小于 90 C大于 90 D不确定【解析】选 A.因为MP MN（1MB+1B P）MN 1MB MN 1B PMN 000，所以两向量垂直，即PMN90.2已知正四面体 DABC 的各棱长为 1，点 E 是 AB 的中点，则EC AD 的值为()A14 B14 C 34 D 34 【解析】选 A.如图所示，正四面体 ABCD 的棱长是 1，E 是 AB 的中点，所以EC AD(EA AC)AD
2、12 AB AD AC AD 12 11cos 6011cos 6014.【补偿训练】已知正四面体 ABCD 的棱长为 a，点 E，F，H 分别是 BC，AD，AE 的中点，则AH AF 的值为()A12 a2 B14 a2 C18 a2 D 38 a2 【解析】选 C.因为正四面体 ABCD 的棱长为 a，点 E，F，H 分别是 BC，AD，AE 的中点，所以|AE|DE|a214a2 32 a，|AD|a，AH 34 a，|AF|12 a，所以 cos AH，AF|AE|2|AD|2|DE|22|AE|AD|34a2a234a22 32 aa 33 ，AH AF|AH|AF|cos AH，
3、AF 34 a12 a 33 18 a2.3已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么|a3b|等于()A 7 B 10 C 13 D4【解析】选 C.因为|a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos 60913，所以|a3b|13.4已知非零向量 a，b 不平行，并且其模相等，则 ab 与 ab 之间的关系是()A垂直 B共线 C不垂直 D以上都可能【解析】选 A.由题意知|a|b|，因为(ab)(ab)|a|2|b|20，所以(ab)(ab).5设 a，b120，|a|3，|b|4，求：(1)ab；(2)(3a2b)(a2b).【解析】(1)因为 ab|a|b|cos a，
4、b，所以 ab34cos 1206.(2)因为(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|2 3|a|24|a|b|cos 1204|b|2，所以(3a2b)(a2b)3943412 416 27246461.(30 分钟 60 分)一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)1已知 a，b 是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且 AB2，CD1，则 a 与 b 所成的角是()A30 B45 C60 D90【解析】选 C.因为AB AC CD DB，所以AB CD(AC CD DB)CD AC CD CD 2DB CD 01201，又|AB|2，|CD|1.所以 cos AB，CD
5、 ABCD|AB|CD|121 12.因为异面直线所成的角是锐角或直角，所以 a 与 b 所成的角是 60.2设 A，B，C，D 是空间中不共面的四点，且满足AB AC 0，AC AD 0，AB AD 0，则BCD 是()A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定【解析】选 B.BC BD(AC AB)(AD AB)AC AD AC AB AB AD AB 2AB 20，同理，可证CB CD 0，DB DC 0.所以BCD 的每个内角均为锐角，故BCD 是锐角三角形 3已知空间向量 a，b，c 两两夹角为 60，其模都为 1，则|ab2c|等于()A 5 B5 C6 D 6 【解析】选
6、 A.因为|ab2c|2|a|2|b|24|c|22ab4ac4bc 1212412211cos 60411 cos 60411cos 605，所以|ab2c|5.4已知非零向量 a，b，c，若 p a|a|b|b|c|c|，那么|p|的取值范围是()A0，1 B1，2 C0，3 D1，3【解析】选 C.p2a|a|b|b|c|c|2 32ab|a|b|ac|a|c|cb|c|b|3239，所以 0|p|3.二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5已知 ABCDA1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是()A(1A A11A
7、 D 11A B)23(11A B)2 B1A C(11A B 1A A)0 C向量1AD 与向量1A B的夹角是 60 D正方体 ABCDA1B1C1D1的体积为|AB 1AA AD|【解析】选 AB.由向量的加法得到：1A A11A D 11A B 1A C，因为 A1C23A1B21，所以(1A C)23(11A B)2，所以 A 正确；因为11A B 1A A1AB，AB1A1C，所以 A1CAB10，故 B 正确；因为ACD1是等边三角形，所以AD1C60，又 A1BD1C，所以异面直线 AD1与 A1B 所成的夹角为 60，但是向量1AD 与向量1A B的夹角是 120，故 C 不
8、正确；因为 ABAA1，所以AB 1AA 0，故|AB 1AA AD|0，因此 D 不正确 6下列命题中错误的是()A(ab)2a2b2 B|ab|a|b|C(ab)ca(bc)D若 a(bc)，则 abac0【解析】选 ACD.对于 A 项，左边|a|2|b|2cos2a，b，右边|a|2|b|2，所以左边右边，A 错误(ab)c 与 c 共线，a(bc)与 a 共线，但 c 与 a 不一定共线，C 错 在 D 中，a(bc)0，所以 abac0，所以 abac，但 ab 与 ac 不一定等于零，故 D 错误 对于 B，因为 ab|a|b|cosa，b，1cos a，b1，所以|ab|a|b
9、|，故 B 正确 三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7已知 a，b 是空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab|7，则 cos a，b_【解析】将|ab|7 化为(ab)27，求得 ab12，再由 ab|a|b|cos a，b，求得 cos a，b18.答案：18 8已知向量 a，b 满足：|a|2，|b|2，且 a 与 2ba 互相垂直，则 a 与 b的夹角为_【解析】因为 a 与 2ba 垂直，所以 a(2ba)0，即 2ab|a|20.所以 2|a|b|cos a，b|a|20，所以 4 2 cos a，b40，所以 cos a，b 22 ，又 0a，b180，所以 a 与 b
10、 的夹角为 45.答案：45 四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9在空间四边形 OABC 中，连接 AC，OB，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求向量OA 与BC 所成角的余弦值【解析】因为BC AC AB，所以OA BC OA AC OA AB|OA|AC|cos OA，AC|OA|AB|cos OA，AB 84cos 13586cos 1202416 2，所以 cos OA，BC OABC|OA|BC|2416 285 32 25.10如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为 1，求证：AB1BC1；(2)设 AB1与 BC
11、1的夹角为3 ，求侧棱的长【解析】(1)1AB AB 1BB，1BC 1BB BC.因为 BB1平面 ABC，所以1BB AB 0，1BB BC 0.又ABC 为正三角形，所以AB，BC BA，BC 3 23 .因为1AB 1BC(AB 1BB)(1BB BC)AB 1BB AB BC 21BB 1BB BC|AB|BC|cos AB，BC 21BB 110，所以 AB1BC1.(2)结合(1)知1AB 1BC|AB|BC|cos AB，BC 21BB 21BB 1.又|1AB|21ABBB（）212BB|1BC|，所以 cos 1AB，1BC 2121BB12BB12，所以|1BB|2，即侧
12、棱长为 2.1如图，在三棱锥 DABC 中，已知 AB2，AC BD 3，设 ADa，BCb，CDc，则c2ab1 的最小值为_.【解析】因为在三棱锥 D ABC 中，AB2，AC BD 3，设AD a，BC b，CD c，所以AC ac，BD bc，所以AC BD(ac)(bc)abacbcc23，所以 c2abacbc3，又AB aBD abc，所以|(ab)c|2，所以c2ab1 ab（ab）c3ab1，将两边平方得(ab)2c22(ab)c4，所以(ab)2c242(ab)c，所以（ab）22 c22 2(ab)c，代入中，得c2ab1 ab（ab）22c221ab1，所以12 c2a
13、b1（ab）22 ab112(a2b22ab)112(a2b2)，所以 c22a2b2，又 c2c2，a2a2，b2b2，所以c2ab1 2a2b2ab1 22abab1 2，当且仅当 ab 时取等号，所以c2ab1 的最小值为 2.答案：2 2平行四边形 ABCD 中，AB2AC2 且ACD90，将它沿对角线 AC 折起，使AB 与 CD 成 60角，求 B，D 间的距离 【解析】由已知得 ACCD，ACAB，折叠后 AB 与 CD 所成角为 60，于是，AC CD 0，BA AC 0，且BA，CD 60或 120.|BD|2(BA AC CD)2BA 2AC 2CD 22BA AC 2AC CD 2BA CD 221222222cos BA，CD，故|BD|213 或 5，解得|BD|13 或 5，即 B，D 间的距离为 13 或 5.
