1、题组层级快练(七十八)1(2015重庆一中期中)在2,3上随机取一个数x，则(x1)(x3)0的概率为()A.B.C. D.答案D解析由(x1)(x3)0，得1x3.由几何概型得所求概率为.2在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为()A. B.C. D.答案A解析面积为36 cm2时，边长AM6 cm；面积为81 cm2时，边长AM9 cm.P.3若在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于的概率是()A. B.C. D.答案C解析如图，在AB边上取点P，使，则P只能在AP上(为包括P点)运
2、动，则所求概率为.4一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A. B.C. D.答案C解析由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P.5(2014湖北理)由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域记为2.在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为()A. B.C. D.答案D解析由题意作图，如图所示，1的面积为222，图中阴影部分的面积为2，则所求的概率P，选D.6已知函数f(x)x2bxc，其中0b4,0c4，记函数
3、f(x)满足条件为事件A，则事件A发生的概率为()A. B.C. D.答案C解析由题意知，事件A所对应的线性约束条件为其对应的可行域如图中阴影部分所示，所以事件A的概率P(A)，选C.7在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A. B1C. D1答案B解析正方体的体积为2228，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为r313，则点P到点O的距离小于或等于1的概率为，故点P到点O的距离大于1的概率为1.8若在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2y21内的概率为()A.
4、B.C. D.答案D解析区域为ABC内部(含边界)，则概率为P，故选D.9(2013四川理)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B.C. D.答案C解析设通电x秒后第一串彩灯闪亮，y秒后第二串彩灯闪亮依题意得0x4,0y4，S4416.又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|xy|2，如图可知，符合要求的S16222212，P.10已知实数a满足3aP2 BP1P2CP1P2 DP1与P2的大小不确定答案C解析若
5、f(x)的值域为R，则1a240，得a2或a2.故P1.若f(x)的定义域为R，则2a240，得2a2.故P2.P1P2.11.(2014福建文)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_答案0.18解析几何概型与随机模拟实验的关系由题意知，这是个几何概型问题，0.18.S正1，S阴0.18.12点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为_答案解析圆周上使弧的长度为1的点M有两个，设为M1，M2，则过A的圆弧的长度为2，B点落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，所以劣弧的长度小于1的概率为.
6、13若在区间0,10内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间0,10内的概率是_答案解析将取出的两个数分别用x，y表示，则0x10,0y10.如图所示，当点(x，y)落在图中的阴影区域时，取出的两个数的平方和也在区间0,10内，故所求概率为.14如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是_答案3解析设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P，解得h3，故长方体的体积为1133.15.(2015茂名一模)已知
7、一颗粒子等可能地落入如图所示的四边形ABCD内的任意位置，如果通过大量的试验发现粒子落入BCD内的频率稳定在附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为_答案解析由几何概型的概率计算公式，得粒子落在ABD与CBD中的概率之比等于ABD与CBD的面积之比，而ABD与CBD的面积之比又等于点A和点C到直线BD的距离之比，所以点A和点C到直线BD的距离之比约为，故填.16(2015广东深圳)已知复数zxyi(x，yR)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P4，3，2,0，Q0,1,2，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x0,3，y0,4，
8、求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率答案(1)(2)解析(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.组成复数z的所有情况共有12个：4，4i，42i，3，3i，32i，2，2i，22i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，所求事件的概率为P(A).(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域(x，y)|内，属于几何概型该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S3412.而所求事件构成的平面区域为(x，y)|，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)又直线x2y30与x轴，y轴的交点分别为A(3,0)，D(0，)，三角形OA
9、D的面积为S13.所求事件的概率为P.17甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率答案(1)(2)解析(1)设甲、乙两船到达时间分别为x，y，则0x24,0y4或yx2或yx4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域P(B).1(2015湖南澧县三校)假设在时间间隔T内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机若这两条短信进入手机的
10、间隔时间不大于t(0tT)，则手机受到干扰手机受到干扰的概率是()A()2 B(1)2C1()2 D1(1)2答案D解析分别设两个互相独立的信号为X，Y，则所有事件集可表示为0xT,0yT.由题目得，如果手机受到干扰的事件发生，必有|xy|t.这时x，y满足约束条件的可行域为如图阴影部分而所有事件的集合即为正方形面积，阴影区域面积为T22(Tt)2T2(Tt)2所以阴影区域面积和正方形面积比值即为干扰发生的概率，即1(1)2，故选D.2(2013陕西理)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A1 B.1C2 D.答案A解析依题意知，有信号的区域面积为2，矩形面积为2，故无信号的概率P1.3.(2014辽宁文)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A. B.C. D.答案B解析由几何概型的概率公式可知，质点落在以AB为直径的半圆内的概率P，故选B.
