1、第 2 讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题第六章 不等式1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组)表示区域AxByC0直线 AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0_ 不等式组各个不等式所表示平面区域的_包括边界直线公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满 足 二 元 一 次 不 等 式(组)的 x 和 y 的 取 值 构 成 的_，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的_构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集有序数对(x，y)有序数对(x，y)3线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量 x，y 组成的_ 线性约束条件由 x，y 的一次不等式(或
2、方程)组成的_ 目标函数关于变量 x，y 的函数_，如 zx2y 线性目标函数关于变量 x，y 的_解析式 可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有_组成的集合 最优解使目标函数取得_的可行解 线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的_或_问题不等式(组)不等式(组)解析式一次可行解最大值或最小值最大值最小值1辨明两个易误点(1)画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先将二元一次不等式化为 axbyc0(a0)的形式；(2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有2求 zaxby(ab0)的最值方法将函数 za
3、xby 转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值(1)当 b0 时，截距zb取最大值时，z 也取最大值；截距zb取最小值时，z 也取最小值；(2)当 b0 时，截距zb取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值1.教材习题改编 不等式 x2y60 表示的区域在直线 x2y60 的()A右上方 B右下方 C左上方 D左下方C 解析 画出 x2y60 的图象如图所示，可知该区域在直线x2y60 的左上方故选 C.2.教材习题改编 已知实数 x，y 满足约束条件yx，xy1，y1，则 z2xy 的最大值为()A3 B32C32D3A 解析 画出
4、可行域，如图阴影部分所示由 z2xy，知 y2xz，当目标函数过点(2，1)时直线在 y轴上的截距最大，为 3.3(2016高考北京卷)已知 A(2，5)，B(4，1)若点 P(x，y)在线段 AB 上，则 2xy 的最大值为()A1 B3 C7 D8C 解析 依题意得 kAB51242，所以线段 lAB：y12(x4)，x2，4，即 y2x9，x2，4，故 2xy2x(2x9)4x9，x2，4设 h(x)4x9，易知 h(x)4x9 在2，4上单调递增，故当 x4 时，h(x)max4497.4(2017扬州模拟)点(2，t)在直线 2x3y60 的上方，则 t 的取值范围是_解析 因为直线
5、 2x3y60 的上方区域可以用不等式 2x3y60 表示，所以由点(2，t)在直线 2x3y60 的上方得43t60，解得 t23.23，5约束条件xy2xy2y0表示的平面区域的面积为_解析 作出xy2xy2y0所表示的平面区域如图中阴影部分所示则 A(0，2)，B(2，0)，C(2，0)，所以 S 阴SABC12424.4 二元一次不等式(组)表示的平面区域典例引领(1)不等式组xy20，x2y40，x3y20表示的平面区域的面积为_(2)若不等式组xy0，2xy2，y0，xya表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是_4(0，143，【解析】(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部
6、分所示，由x3y20，x2y40得 A(8，2)由 xy20 得 B(0，2)又|CD|2，故 S 阴影122212224.(2)不等式组xy0，2xy2，y0表示的平面区域如图所示(阴影部分)解yx，2xy2得 A23，23；解y0，2xy2得 B(1，0)若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线 xya 中的 a 的取值范围是 0a1 或 a43.若本例(2)条件变为：若不等式组xy50，ya，0 x2表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是_解析 如图，当直线 ya 位于直线 y5 和 y7 之间(不含y7)时满足条件 5，7)二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(
7、1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点 通关练习1不等式(x2y1)(xy3)0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是()C 解 析 (x 2y 1)(x y 3)0，即x2y10，xy30或x2y10，xy30，与选项 C 符合故选 C.2若满足条件xy0 xy20ya的整点(x，y)恰有 9 个，其中整点是指横
8、、纵坐标都是整数的点，则整数 a 的值为_解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a0 时，只有 4 个整点(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0)；当 a1 时，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)共 5 个整点 1 求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点，属必考内容，题型多为选择题和填空题，属中档题高考对线性目标函数最值(范围)问题的考查主要有以下两个命题角度：(1)求线性目标函数的最值(范围)；(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)典例引领(1)(2016 高 考 全 国 卷 丙)
9、设 x，y 满 足 约 束 条 件2xy10，x2y10，x1，则 z2x3y5 的最小值为_(2)设 x，y 满足约束条件xya，xy1，且 zxay 的最小值为7，则 a()A5 B3C5 或 3 D5 或310 B【解析】(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当 z2x3y5 经过点 A(1，1)时，z 取得最小值，zmin2(1)3(1)510.(2)联立方程组xyaxy1，解得xa12ya12，代入 xay7 中，解得 a3 或5，当 a5 时，zxay 的最大值是 7；当 a3 时，zxay的最小值是 7，故选 B.利用线性规划求目标函数最值的步骤(1)画出约
10、束条件对应的可行域；(2)将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点；(3)将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值 注意 对于已知目标函数的最值，求参数问题，把参数当作已知数，找出最优解代入目标函数 题点通关角度一 求线性目标函数的最值(范围)1(2016高考全国卷甲)若 x，y 满足约束条件xy10，xy30，x30，则zx2y 的最小值为_5解析 法一：(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由 zx2y得 y12x12z，作直线 y12x 并平移，观察可知，当直线经过点 A(3，4)时，zmin3245.法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的
11、最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3，4)，(1，2)，(3，0)，依次代入目标函数可求得 zmin5.角度二 已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)2(2017郑州第二次质量预测)已知实数 x，y 满足2xy0，xy0，0 xa，设 bx2y，若 b 的最小值为2，则 b 的最大值为_解析 画出可行域，如图阴影部分所示由bx2y 得，y12xb2.易知在点(a，a)处 b取最小值，故 a2a2，可得 a2.在点(2，4)处 b 取最大值，于是 b 的最大值为2810.10 线性规划的实际应用典例引领(2016高考全国卷乙)某高科技企业生产产品 A 和产品B 需要甲、乙两种
12、新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时生产一件产品 A 的利润为 2 100元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_元216 000【解析】由题意，设产品 A 生产 x 件，产品 B 生产 y 件，利润 z2 100 x900y，线性约束条件为 1.5x0.5y150，x0.3y90，5x3y600，x0，y0，作出不等式组表示的平面
13、区域如图中阴影部分所示，又由 xN，yN，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以 zmax2 10060900100216 000(元)(2016高考天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A，B，C 三种主要原料生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料 ABC甲483乙5510现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元分别用 x，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数(1)
14、用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润解(1)由已知，x，y 满足的数学关系式为4x5y200，8x5y360，3x10y300，x0，y0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分(2)设利润为 z 万元，则目标函数为 z2x3y.考虑 z2x3y，将它变形为 y23xz3，这是斜率为23，随 z 变化的一族平行直线.z3为直线在 y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大又因为 x，y 满足约束条件，所以由图 2 可知，当直线 z2x3y 经过可行域上的点 M 时，截
15、距z3最大，即 z 最大 解方程组4x5y200，3x10y300，得点 M 的坐标为(20，24)所以 zmax220324112.即生产甲种肥料 20 车皮、乙种肥料 24 车皮时利润最大，且最大利润为 112 万元 数形结合思想求解非线性规划问题(2015 高 考 全 国 卷)若 x，y 满 足 约 束 条 件x10，xy0，xy40，则yx的最大值为_3【解析】画出可行域如图阴影所示，因为 yx表示过点(x，y)与原点(0，0)的直线的斜率，所以点(x，y)在点 A 处时yx最大 由x1，xy40，得x1，y3.所以 A(1，3)所以yx的最大值为 3.(1)本题在求yx的取值范围时，
16、利用数形结合思想，把yx转化为动点(x，y)与定点(0，0)连线的斜率解决这类问题时，需充分把握目标函数的几何含义，在几何含义的基础上加以处理(2)常见代数式的几何意义：x2y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离；（xa）2（yb）2表示点(x，y)与点(a，b)的距离；yx表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率值；ybxa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率值 1.(2016 高 考 山 东 卷)若 变 量 x，y 满 足xy2，2x3y9，x0，则 x2y2 的最大值是()A4 B9C10 D12C解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设 P(x，y)为平面区域
17、内任意一点，则 x2y2 表示|OP|2.显然，当点 P 与点 A 重合时，|OP|2 即 x2y2 取得最大值由xy2，2x3y9，解得x3，y1，故 A(3，1)所以 x2y2 的最大值为 32(1)210.故选 C.2(2017洛阳统考)已知不等式组xy2，x0，ym表示的平面区域的面积为 2，则xy2x1 的最小值为()A32 B43 C2 D4B 解析 画出不等式组所表示的区域，由区域面积为 2，可得 m0.而xy2x1 1y1x1，y1x1表示可行域内任意一点与点(1，1)连线的斜率，所以y1x1的最小值为0（1）2（1）13，所以xy2x1 的最小值为43.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放