1、第8课时函数的最值与导数基础达标(水平一)1.函数f(x)=x3+3x(|x|1)().A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,也无最小值D.无最大值,但有最小值【解析】f(x)=3x2+30,f(x)在区间-1,1上为单调递增函数,当|x|1时,f(x)有最大值,也有最小值.【答案】B2.函数f(x)=x-sin x,x2,的最大值是().A.-1B.2-1C.D.+1【解析】当x2,时,f(x)=1-cos x0,f(x)在2,上为增函数,f(x)的最大值为f()=-sin =,故选C.【答案】C3.函数f(x)=2sin x-x在区间0,2上的最大值点和最大值分别是
2、().A.3和3-3B.0和0C.2和2-2D.0和2【解析】f(x)=2cos x-1,令f(x)=0,得x=3,当x0,3时,f(x)0;当x3,2时,f(x)0,故x=3为最大值点,f3=3-3为函数的最大值.【答案】A4.函数f(x)=x3-2x2+1在区间-1,2上的最大值和最小值分别是().A.1和-2B.2和-1C.1和-527D.1和0【解析】f(x)=3x2-4x,令f(x)=0,解得x=0或x=43.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,43)43(43,2)2f(x)+0-0+f(x)-21-5271从上表可知,函数f(x)的最大值是1
3、,最小值是-2.【答案】A5.函数f(x)=x3-3x2+5在区间-1,1上的最大值是.【解析】f(x)=3x2-6x=3x(x-2).令f(x)=0,解得x=0或x=2(舍去).当-1x0;当0x1时,f(x)0.所以当x=0时,函数取得极大值即最大值,所以f(x)的最大值为5.【答案】56.已知函数f(x)=sin x-2x-a,若f(x)在0,上的最大值为-1,则实数a的值是.【解析】f(x)=sin x-2x-a,f(x)=cos x-20,函数f(x)在0,上单调递减,f(x)的最大值是f(0)=-a=-1,故a=1.【答案】17.设函数g(x)=x3-3x2+2.(1)若函数g(x
4、)在区间(0,m)上递减,求m的取值范围;(2)若函数g(x)在区间(-,n上的最大值为2,求n的取值范围.【解析】(1)由g(x)=x3-3x2+2,得g(x)=3x2-6x,令g(x)0,则x(0,2),g(x)的递减区间为(0,2).又g(x)在区间(0,m)上递减,(0,m)(0,2),0m2.(2)g(x)在(-,0上递增,在0,2上递减,在2,+)上递增,令g(x)=2,解得x=0或x=3,结合图象(图略)观察,得n0,3.拓展提升(水平二)8.已知f(x)=-x2+mx+1在区间-2,-1上的最大值是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是().A.(-4,-2)B.(-3,-2)
5、C.(-4,-1)D.(-1,-2)【解析】f(x)=m-2x,令f(x)=0,得x=m2.由题意知-2m2-1,-4m-2.【答案】A9.设函数f(x)=ln x-14x2-12x,则函数f(x)的最大值为().A.-1B.-34C.34D.1【解析】依题意知,f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1x-12x-12=-(x+2)(x-1)2x,令f(x)=0,解得x=1.当0x0,函数f(x)单调递增;当x1时,f(x)0,函数f(x)单调递减.所以函数f(x)的极大值即为最大值f(1)=-34.【答案】B10.已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=-
6、12x,则函数f(x)在-3,1上的最大值是.【解析】f(x)=12x2+2ax+b,f(1)=-12,f(1)=-12a=-3,b=-18,f(x)=4x3-3x2-18x+5,f(x)=12x2-6x-18,令f(x)=0,得x=-1或x=32,且f(-3)=-76,f(-1)=16,f(1)=-12,函数f(x)的最大值是f(-1)=16.【答案】1611.已知f(x)=x+xln x,若kZ,且k(x-2)2恒成立,求k的最大值.【解析】x2,k(x-2)f(x)可化为k0.g(x)在(2,+)上是增函数,且g(8)=8-2ln 8-4=2(2-ln 8)0.存在x0(8,9),使g(x0)=0,即2ln x0=x0-4.F(x)=x+xlnxx-2在区间(2,x0)上是减函数,在区间(x0,+)上是增函数.F(x)min=F(x0)=x0+x0x0-42x0-2=x02,kx02,k的最大值是4.