1、第八章 平面解析几何1(2017石家庄一模)已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为()Ax24 y2121 Bx212y241Cx210y261 Dx26 y2101A 解析 已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4，0)，(4，0)，则 c4，a2，b212，双曲线方程为x24 y2121，故选 A.2(2017惠州调研)若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 3，则其渐近线的斜率为()A2 B 2C12D 22B 解析 因为双曲线x2a2y2b21 的离心率为 3，所以 eca1b2a2 3，解得ba 2，所以其渐近线的斜率为 2.故选 B.3设
2、F1，F2 分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线上存在点 A，使F1AF290且|AF1|3|AF2|，则双曲线的离心率为()A 52B 102C 152D 5B 解析 因为F1AF290，故|AF1|2|AF2|2|F1F2|24c2，又|AF1|3|AF2|，且|AF1|AF2|2a，故 10a24c2，故c2a252，故 eca 102.4设 F1，F2 是双曲线 x2y2241 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF1|4|PF2|，则PF1F2 的面积等于()A4 2B8 3C24 D48C 解析 由题知，|PF1|PF2|23|PF1|4|PF
3、2|，解得|PF1|8|PF2|6.又由|F1F2|10 可得PF1F2 是直角三角形，则 SPF1F212|PF1|PF2|24.5(2017江南十校联考(一)已知 l 是双曲线 C：x22 y241 的一条渐近线，P 是 l 上的一点，F1，F2 分别是 C 的左、右焦点，若PF1 PF2 0，则点 P 到 x 轴的距离为()A2 33B 2C2 D2 63C 解析 由题意知 F1(6，0)，F2(6，0)，不妨设 l 的方程为 y 2x，点 P(x0，2x0)，由 PF1 PF2(6x0，2x0)(6x0，2x0)3x2060，得 x0 2，故点 P 到 x轴的距离为 2|x0|2，故选
4、 C.6已知焦点在 y 轴上的双曲线 C 的中心是原点 O，离心率等于 52，以双曲线 C 的一个焦点为圆心，1 为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线 C 的方程为()Ay216x24 1 By2x24 1Cy24x21 Dx24 y21C 解析 设双曲线方程为y2a2x2b21(a0，b0)，所以其渐近线方程为 yabx，其中一个焦点为 F1(0，c)，则以 F1 为圆心，1 为半径的圆的方程为 x2(yc)21.因为点 F1 到直线 yabx 的距离等于该圆的半径，所以|bc|a2b21，所以 b2c2a2b2，又因为 c2a2b2，所以 b21，因为 eca 52，所以c254a
5、2，解得 a24，所以双曲线的方程为y24x21.故选 C.7若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为_解析 由双曲线的渐近线过点(3，4)知ba43，所以b2a2169.又 b2c2a2，所以c2a2a2169，即 e21169，所以 e2259，所以 e53.答案 538已知双曲线x2m y23m1 的一个焦点是(0，2)，椭圆y2nx2m1的焦距等于 4，则 n_解析 因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在 y 轴上，所以双曲线的方程为 y23m x2m1，即 a23m，b2m，所以c23mm4m4，解得 m1.所以椭圆方程为y2nx21
6、，且 n0 且 n1，又椭圆的焦距为 4，所以 c2n14或 1n4，解得 n5 或3(舍去)答案 59(2016高考北京卷)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点若正方形 OABC 的边长为 2，则 a_解析 双曲线x2a2y2b21 的渐近线方程为 ybax，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba1.又正方形 OABC 的边长为 2，所以 c2 2，所以 a2b2c2(2 2)2，解得 a2.答案 210设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的半焦距为 c.已知原点到直线 l：bxaya
7、b 的距离等于14c1，则 c 的最小值为_解析 根据已知，得aba2b214c1，又 aba2b22c22，故14c1c2，解得 c4，即 c 的最小值为 4.答案 411已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2 在坐标轴上，离心率为 2，且过点(4，10)，点 M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF1 MF2 0；(3)求F1MF2 的面积解(1)因为 e 2，则双曲线的实轴、虚轴相等 所以可设双曲线方程为 x2y2.因为双曲线过点(4，10)，所以 1610，即 6.所以双曲线方程为 x2y26.(2)证明：设 F1(2 3，0)，F2(2 3，0)，则MF1(2
8、33，m)，MF2(2 33，m)所以MF1 MF2(32 3)(32 3)m2 3m2，因为 M 点在双曲线上，所以 9m26，即 m230，所以MF1 MF2 0.(3)F1MF2 的底边长|F1F2|4 3.由(2)知 m 3.所以F1MF2 的高 h|m|3，所以 SF1MF2124 3 36.12过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点 F1 作斜率为 1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 A，B，若F1AAB，则双曲线的渐近线方程为_解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y1x1c，y1bax1得 x1 acab，y1 bcab，由y2x2c，y2b
9、ax2，得 x2 acba，y2 bcba，由已知得 2acabc acba，所以 b3a.所以双曲线的渐近线方程为 3xy0.答案 3xy013中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2 13，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为 4，离心率之比为 37.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若 P 为这两曲线的一个交点，求 cosF1PF2 的值解(1)由题知 c 13，设椭圆方程为x2a2y2b21，双曲线方程为x2m2y2n21，则am4，7 13a 3 13m，解得 a7，m3.所以 b6，n2.所以椭圆方程为x249y2361，双曲线方程为x29
10、 y241.(2)不妨设 F1，F2 分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2 13，所以 cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|10242（2 13）2210445.14(2017湛江模拟)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F(c，0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为 yx 且 c2，求双曲线的方程；(2)以原点 O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 A，过 A 作圆的切线，斜率为 3，求双曲线的离心率解(1)因为
11、双曲线的渐近线方程为 ybax，所以 ab，所以 c2a2b22a24，所以 a2b22，所以双曲线方程为x22 y221.(2)设点 A 的坐标为(x0，y0)，所以直线 AO 的斜率满足y0 x0(3)1，所以 x0 3y0，依题意，圆的方程为 x2y2c2，将代入圆的方程得 3y20y20c2，即 y012c，所以 x0 32 c，所以点 A 的坐标为32 c，12c，代入双曲线方程得34c2a2 14c2b2 1，即34b2c214a2c2a2b2，又因为 a2b2c2，所以将 b2c2a2 代入式，整理得 34c42a2c2a40，所以 3ca48ca240，所以(3e22)(e22)0，因为 e1，所以 e 2，所以双曲线的离心率为 2.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
