1、5.1任意角和弧度制【素养目标】1掌握弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度数（数学运算）2掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用（数学运算）3根据弧度制与角度制的互化以及弧度制条件下扇形的弧长和面积公式，体会引入弧度制的必要性（逻辑推理）【学法解读】本节在学习中把抽象问题直观化，即借助扇形理解弧度概念，在学角度与弧度换算时巧借，学生可提升自己的数学抽象及数学运算的素养5.1.2弧度制（1）角度制定义：用度作为单位来度量角的单位制.度的角：周角的为度角，记作.（2）弧度制定义：以弧度为单位来度量角的单位制.弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角.表示方法：弧度记作.思考1
2、：圆心角所对应的弧长与半径的壁纸是否是唯一的确定的？提示：一定大小的圆心角的弧度数是所对弧长与半径的壁纸，是唯一确定的，与半径大小无关.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是.如果半径为的圆的圆心角所对弧的长为，那么角的弧度数的绝对值时.思考2：（1）建立弧度制的意义时什么？（2）对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？提示：（1）在弧度制下，角的集合与实数之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.（2）角度制与弧度制是
3、两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如，等写法都是不规范的，应写为，.（1）周角的弧度数是，而在角度制下的度数是，于是，即根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了.弧度与角度的换算公式如下：若一个角的弧度数为，角度数为，则，.（2）常用特殊值的弧度数（3）角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.思考3：（1）角度制与弧度制在进制上有何区别？（2）弧度数与角度数之间有何等量关系？提示：（1）角度制是六十进制，而弧度制是十进制的实数.
4、（2）弧度数角度数；角度数弧度数.（1）弧长公式在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则，变形可得，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度.（2）扇形面积公式由圆心角为的扇形面积为，而弧长为的扇形的圆心角大小为，故其面积为，将代入上式可得，此公式称为扇形面积公式.思考4：（1）弧度制下弧长公式及扇形面积公式有哪些常用变形形式？（2）弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可以解决哪些问题？体现了什么数学思想？提示：（1）；.（2）由弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可知，对于，四个量，可“知二求二”.这实质上是方程思想的应用.1.下列说法中正确的是（）A.弧度是度的圆心角所对的弧B.弧度是长度为半
5、径长的弧C.弧度是度的弧与度的角之和D.弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位答案：D解析：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度的角，弧度是角的一种度量单位，不是长度的度量单位.故ABC错误，D正确.2.化为弧度是（）A.B.C.D.答案：B解析：转化为弧度制为.3.已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数是.答案：解析：根据弧长公式即可得弧所对的圆心角的弧度数是.4.如果，则的终边所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：C解析：因为，所以的终边在第三象限.5.（1）将表示成，的形式为.（2）已知角的终边与角的终边相
6、同，则在内与角的终边相同的角为.答案：（1）；（2），.解析：（1）因为，所以.（2）因为角的终边与角的终边相同，所以，所以.又，所以，故当分别为，时，分别为，都满足条件.题型一角度与弧度的换算及应用例1设，.（1）将用弧度表示出来，并指出它的终边所在的象限；（2）用用角度表述出来，并在内找出与它们终边相同的所有的角.答案：见解析解析：（1），的终边在第二象限.（2），设.，或.在内与终边相同的角是.归纳提升 角度制与弧度制互化的关键与方法（1）关键：抓住互化公式是关键.（2）方法：度数弧度数；弧度数度数.（3）角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.（4）角度化为弧度时，其结果写成的形
7、式，没特殊要求不必化成小数.【对点练习】设、.（1）将、用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；（2）用、用角度制表示出来，并指出它们各自所在象限.答案：见解析解析：（1），.在第二象限，在第一象限.（2），在第二象限，在第四象限.题型二用弧度制表示给定区域角的集合例2用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.分析本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界.解析（1）角的终边可以看作是角的终边，化为弧度，即，角的终边即的终边，所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为.（2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为.归纳提升 解答本
8、题时常犯以下三种错误.（1）弧度与角度混用.（2）终边在同一条直线上的角未合并.（3）将图中所求的角的集合错误地写成，这是一个空集.对于区域角的书写，一定要看其区间是否跨越轴的正半轴，若区间跨越轴的正半轴，则在“前面”的角用负角表示，“后面”的角用正角表示；若区间不跨越轴的正半轴，则无须这样写.【对点练习】用弧度制表示顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示.解析（1）用和的终边分别对应和，所表示的区域位于与之间且跨越轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为.（2）和的终边分别对应和，所表示的区域位于与之间且跨越轴的正半轴，所以终边落在阴影部分
9、的角的集合为.题型三弧长公式和扇形面积公式的应用角度1 弧度数的确定例3 （2020山西省吕梁市月考）如图所示，已知的一条弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从顺时针旋转到所形成的角的弧度数是（）A.B.C.D.答案：D解析：设的半径为，其内接正三角形为，如图所示，过作于点，则为边中点，边长，的长.又是负角，.角度2扇形面积、弧长的计算例4（2020东北师大附中单元测试）已知扇形的周长是，面积为，那么这个扇形的圆心角的弧度数（圆心角为正）为.答案：或解析：设这个扇形的半径为，弧长为，圆心角的弧度数为，由题意得，解得或，当，时，符合题意；当，时，符合题意.综上所述，这个扇形的圆心角的弧度数为或.
10、归纳提升1.运用扇形弧长及面积公式时应满足的问题.（1）由扇形的弧长及面积公式可知，对于，中“知二求三”的问题，其实质上是方程思想的运用.（2）运用弧度制下扇形的弧长公式与面积公式比用角度制下的公式要简单得多.若角是以“度”为单位的，则必须先将其化为弧度，再计算.（3）在运用公式时，还应熟练掌握下面几个公式.，；，.2.解决扇形的周长或面积的最值问题的关键是运用函数思想，把要求的最值问题转化为求函数的最值即可.【对点练习】（1）一个扇形的面积为，弧长为，则这个扇形的圆心角为（）A.B.C.D.（2）（2019厦门期末）若一扇子的弧长等于其所在圆的内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（）A.B
11、.C.D.答案（1）D；（2）C.解答：（1）设扇形的圆心角为，半径为，则，解得.故扇形的圆心角为.（2）设圆的直径的，则圆内接正方形的边长为.扇子的弧长等于其所在圆的内接正方形的边长，扇子的弧长等于，圆心角的弧度数为.角度和弧度混用致错例5 求终边在如图所示阴影部分（不包括边界）内的角的集合.错解一.错解二.错因分析错解一中，若给赋一个值，集合中不等式右边的角反而小于左边的角.错解二中，同一不等式中混用了角度制与弧度制.正解，也可写成.方法点拨同一个问题（或题目）中使用的度量单位要统一，要么用角度制单位，要么用弧度制单位，不能将两者混用.数学文化题的功能时传播数学文化，所以一般来说难度较小，解决此类为题的关键是理解题意，按照题中的方法解决问题.例5 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积弦矢矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弧长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径等于的弧田，按照上述经验上式，计算所得弧田面积约是（）A.B.C.D.答案：B解答：如图，由题意得，在中，矢.由，得弦，弧田面积弦矢矢.故选B.