1、第2课时余 弦 定 理1.了解向量法证明余弦定理的推导过程.2.掌握余弦定理及其推论.3.能够利用余弦定理及其推论解三角形.重点:余弦定理公式及其变形公式,适用范围与初步应用.难点:余弦定理的灵活使用.如图,某隧道施工队为了开凿一条山地隧道,需要测算隧道通过这座山的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B、C的距离,其中AB=km,AC=1 km,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角BAC=150,你能通过计算求出山脚的长度BC吗?问题1:上述问题中,山脚BC长度的求解用的是余弦定理,余弦定理的内容是什么?余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减
2、去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,这个定理是余弦定理,可以用式子表示为a2=b2+c2-2bccos A、b2=c2+a2-2accos B、c2=a2+b2-2abcos C.问题2:余弦定理的推论:cos A=;cos B=;cos C=.问题3:余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,也是解三角形的重要工具:(1)在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,可以知三求一.(2)利用余弦定理可以完成三种情形的斜三角形,分别是:已知三边,解三角形;已知两边及其夹角,解三角形;已知两边及其一边的对角,解三角形.问题4:ABC的三边为a,b,c,对角分别为A,B,C,则:(1)
3、若a2+b2=c2,则角C是直角;(2)若a2+b2c2,则角C是锐角.古希腊时期欧几里得关于余弦定理的等价命题:1.在钝角三角形中,钝角对边上的正方形,比钝角两夹边上的正方形之和大一个矩形的两倍,这个矩形就是由一锐角向对边的延长线作垂线,垂足到钝角之间一段与另一边所构成的矩形.2.在锐角三角形中,锐角对边上的正方形,比锐角两夹边上的正方形之和小一个矩形的两倍,这个矩形就是由一锐角向对边作垂线,垂足到原锐角顶点之间的一段与该边所构成的矩形.1.在ABC中,abc=357,则ABC的最大角为().A.100B.135C.120D.150【解析】设三边分别为3k,5k,7k,则角C为最大角,根据余
4、弦定理:cos C=-,C=120.【答案】C2.设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若c=,b=2a,C=,则边a等于().A.B.1C.D.2【解析】cos C=,解得a=1.【答案】B3.(1)以7,24,25为各边长的三角形是三角形;(2)以2,3,4为各边长的三角形是三角形;(3)以4,5,6为各边长的三角形是三角形.【解析】(1)72+242=252,三角形为直角三角形;(2)22+32-420,三角形为锐角三角形.【答案】(1)直角(2)钝角(3)锐角4.在ABC中,已知a2=b2+bc+c2,求角A.【解析】由已知得b2+c2-a2=-bc,cos A=-,又0
5、A0),由余弦定理有:cos A=,A=45,cos B=,B=60,C=180-45-60=75.【小结】已知三角形三边求角,可先用余弦定理求一个角,再用正弦定理(也可继续用余弦定理)求另一个角,进而求出第三个角.已知两边及其中一边的对角解三角形在ABC中,a=3,b=3,B=30,解这个三角形.【方法指导】已知角B及其对边,再使用余弦定理,获得边c的一元二次方程,解出c的值;再使用余弦定理及三角形内角和公式计算剩余两角的大小.【解析】根据余弦定理得:b2=c2+a2-2cacos B,即c2-9c+18=0,解得:c=3或c=6.当c=3时,cos A=-,A=120,故C=180-120
6、-30=30;当c=6时,cos A=,A=60,故C=180-60-30=90.综上可知:A=60,C=90,c=6或A=120,C=30,c=3.【小结】已知三角形的两边与一角求第三边,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以应用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边).利用余弦定理判定三角形形状已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(4,-1),n=(cos2,cos 2A),且mn=.(1)求角A的大小;(2)若b+c=2a=2,试
7、判断ABC的形状.【方法指导】(1)角A的大小可以根据向量的运算求解;(2)判断ABC的形状需借助求解的A的大小,利用余弦定理寻找边的大小,进而判断出三角形的形状.【解析】(1)m=(4,-1),n=(cos2,cos 2A),mn=4cos2-cos 2A=4-(2cos2A-1)=-2cos2A+2cos A+3.又mn=,-2cos2A+2cos A+3=,解得cos A=.0A0),则b=3x,c=x.显然cba,C是最大角.cos C=-,C=.【答案】在ABC中,a=,b=1,B=30,解这个三角形.【解析】(法一)根据余弦定理得:b2=c2+a2-2cacos B,即c2-3c+
8、2=0,解得:c=1或2.当c=1时,C=B=30,A=120;当c=2时,ABC为直角三角形,C=90,A=60.(法二)可由正弦定理=sin A=,A=60或120.当A=60时,C=90,c=2;当A=120时,C=30,c=1.在钝角ABC中,a=1,b=2,则最大边c的取值范围是.【解析】根据余弦定理得:cos C=,C为最大角,C为钝角,即cos C=(-1,0),解得:c3.【答案】(,3)1.在ABC中,sin Asin Bsin C=324,则cos C等于().A.-B.-C.D.【解析】由正弦定理得abc=324,cos C=-.【答案】B2.在ABC中,已知a4+b4+
9、c4=2c2(a2+b2),则角C等于().A.60B.45或135C.120D.30【解析】a4+b4+c4=2c2(a2+b2),a4+b4+c4-2a2c2-2b2c2=0,即(a2+b2-c2)2=2a2b2,=,即cos C=,故C=45或135.【答案】B3.在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2=b2+ac,则cos B=.【解析】cos B=.【答案】4.已知在ABC中,a=8,b=7,B=60,求c.【解析】b2=c2+a2-2accos B,72=c2+82-28ccos 60,c2-8c+15=0,故c=3或c=5.(2013年新课标全国卷)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于().A.10B.9C.8D.5【解析】根据题目条件23cos2A+cos 2A=0,得23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=.又因为三角形为锐角三角形,所以cos A=,由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A,即72=36+b2-b,化简得5b2-12b-65=0,解得b=5,所以答案为D.【答案】D
